Usando o método dos mínimos quadrados, aproxime a função
abaixo no intervalo
por um polinômio de
grau, ou seja,
.
c) (1,5 ponto) Resolva o sistema linear utilizando qualquer método.
c) (1,5 ponto) Resolva o sistema linear utilizando qualquer método.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte c) do exercício que está pedindo para resolver um sistema linear usando qualquer método. Isso faz parte do método dos mínimos quadrados que a gente usa para aproximar funções. Então, a gente vai precisar lidar com equações lineares aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar os coeficientes
e
do polinômio
que melhor aproxima a função
no intervalo dado, a gente monta um sistema de equações lineares. Esse sistema surge das condições dos mínimos quadrados, que basicamente minimizam o erro entre
e
.
Passo 3
O sistema geralmente tem a forma:
Onde
é o número de pontos no intervalo,
são os valores de
, e
.
Passo 4
Vamos supor que já calculamos as somas necessárias e montamos o sistema. Agora, vamos resolver esse sistema linear. Podemos usar o método de substituição, eliminação ou até matriz. Vou optar pelo método de eliminação para simplificar.
Passo 5
Digamos que o sistema ficou assim:
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por algum número para eliminar uma das variáveis. Por exemplo, multiplicamos a primeira equação por
:
Passo 6
Agora, somamos as duas equações para eliminar
:
Passo 7
Resolvemos para
:
Passo 8
Substituímos
de volta em uma das equações originais para encontrar
. Após resolver, encontramos os valores de
e
.
Resposta
Após resolver o sistema, os coeficientes são
[valor calculado] e
[valor calculado], então a função aproximada fica
.