Determine a série de Fourier de
no intervalo dado:
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função
no intervalo
. Isso envolve decompor a função em uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Fourier e como calcular os coeficientes que vão multiplicar cada termo trigonométrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função
periódica com período
é dada por:
Aqui,
é o termo constante,
são os coeficientes dos cossenos e
são os coeficientes dos senos. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes para a função
.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente
. Esse coeficiente é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
A primeira integral é fácil:
A segunda integral:
(motivo: a função
é ímpar e estamos integrando sobre um intervalo simétrico)
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Vamos dividir a integral:
Passo 6
A primeira integral:
(pois
é uma função par, mas multiplicada por uma constante simétrica resulta em zero sobre
a
)
A segunda integral:
Vamos resolver por partes usando a integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Avaliando de
a
:
Simplificando, sabendo que
e
:
Portanto:
Passo 7
Voltando ao cálculo de
:
Então, todos os coeficientes
são zero.
Passo 8
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Vamos dividir a integral:
Passo 9
A primeira integral:
(pois
é uma função ímpar e a integral sobre um intervalo simétrico de uma função ímpar é zero)
Agora, a segunda integral:
Vamos resolver por partes usando integração por partes:
Aplicando integração por partes:
Avaliando de
a
:
Simplificando, sabendo que
e
:
Portanto:
Passo 10
Voltando ao cálculo de
:
Sabendo que
, podemos escrever:
Passo 11
Agora, juntando todos os resultados, temos que a série de Fourier de
no intervalo
é:
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é:
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