Determine a série de Fourier de f no intervalo dado:
f(x) = 3 - 2 x em -pi < x < pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função no intervalo . Isso envolve decompor a função em uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Fourier e como calcular os coeficientes que vão multiplicar cada termo trigonométrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:
Aqui, é o termo constante, são os coeficientes dos cossenos e são os coeficientes dos senos. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes para a função .

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente . Esse coeficiente é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular a integral:
A primeira integral é fácil:
A segunda integral:
(motivo: a função é ímpar e estamos integrando sobre um intervalo simétrico)
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Vamos dividir a integral:

Passo 6

A primeira integral:
(pois é uma função par, mas multiplicada por uma constante simétrica resulta em zero sobre a )
A segunda integral:
Vamos resolver por partes usando a integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Avaliando de a :
Simplificando, sabendo que e :
Portanto:

Passo 7

Voltando ao cálculo de :
Então, todos os coeficientes são zero.

Passo 8

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Vamos dividir a integral:

Passo 9

A primeira integral:
(pois é uma função ímpar e a integral sobre um intervalo simétrico de uma função ímpar é zero)
Agora, a segunda integral:
Vamos resolver por partes usando integração por partes:
Aplicando integração por partes:
Avaliando de a :
Simplificando, sabendo que e :
Portanto:

Passo 10

Voltando ao cálculo de :
Sabendo que , podemos escrever:

Passo 11

Agora, juntando todos os resultados, temos que a série de Fourier de no intervalo é:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é:

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y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
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