Determine a série de Fourier de
no intervalo dado:
Passo 1
Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a série de Fourier da função
no intervalo
, onde:
Conteúdo da Matéria: Série de Fourier para funções periódicas.
O que vamos precisar:
- Conhecer a definição da série de Fourier para funções definidas em um intervalo
. - Calcular os coeficientes
, e utilizando integrais. - Montar a série de Fourier com os coeficientes encontrados.
Passo 2
Definindo o Intervalo e a Periodicidade
Primeiro, observamos que a função
está definida no intervalo
. Portanto, o período
da função será
, já que
(onde
).
A série de Fourier para uma função periódica com período
é dada por:
Passo 3
Calculando o Coeficiente
O coeficiente
representa a média da função no intervalo e é dado por:
Substituindo
:
Vamos calcular as integrais separadamente.
Passo 4
Calculando as Integrais para
Primeiro, calculamos
:
Segundo, calculamos
:
Passo 5
Finalizando o Cálculo de
Agora, substituímos os resultados das integrais em
:
Passo 6
Calculando os Coeficientes
Os coeficientes
são calculados por:
Substituindo
:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 7
Resolvendo as Integrais para
Primeiro, calculamos
:
Fazendo a substituição
, temos:
Aplicando os limites:
Porque
.
Segundo, calculamos
:
Vamos integrar termo a termo:
A primeira integral já sabemos como resolver, similar ao passo anterior.
A segunda integral,
, requer integração por partes duas vezes ou o uso de uma fórmula específica.
Passo 8
Calculando
Integrando:
Passo 9
Calculando
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes, escolhendo:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Simplificando:
Agora, precisamos resolver
por mais uma integração por partes.
Segunda integração por partes:
-
⇒ -
⇒
Aplicando:
A última integral é:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando em
:
Em
:
Portanto, a integral fica:
Passo 10
Finalizando o Cálculo de
Agora, substituímos o resultado da integral na expressão de
:
Simplificando:
Passo 11
Calculando os Coeficientes
Os coeficientes
são calculados por:
Substituindo
:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 12
Resolvendo as Integrais para
Primeiro, calculamos
:
Fazendo a substituição
, temos:
Aplicando os limites:
Segundo, calculamos
:
Vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é:
A segunda integral,
, também requer integração por partes duas vezes.
Passo 13
Calculando
Usamos integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes:
-
⇒ -
⇒
Aplicando:
Segunda integração por partes para
:
-
⇒ -
⇒
Aplicando:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Aplicando os limites de
a
:
Simplificando:
Passo 14
Finalizando o Cálculo de
Agora, substituímos os resultados das integrais em
:
Simplificando os termos:
Observamos que
e
, restando apenas:
Passo 15
Montando a Série de Fourier Final
Com os coeficientes calculados, a série de Fourier da função
no intervalo
é:
Substituindo
,
e
:
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é:
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