Determine a série de Fourier de f no intervalo dado:
f(x) = { 4, -2 < x < 0; 4 - x^2, 0 < x < 2 }

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a série de Fourier da função no intervalo , onde:
Conteúdo da Matéria: Série de Fourier para funções periódicas.
O que vamos precisar:
  • Conhecer a definição da série de Fourier para funções definidas em um intervalo .
  • Calcular os coeficientes , e utilizando integrais.
  • Montar a série de Fourier com os coeficientes encontrados.

Passo 2

Definindo o Intervalo e a Periodicidade
Primeiro, observamos que a função está definida no intervalo . Portanto, o período da função será , já que (onde ).
A série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:

Passo 3

Calculando o Coeficiente
O coeficiente representa a média da função no intervalo e é dado por:
Substituindo :
Vamos calcular as integrais separadamente.

Passo 4

Calculando as Integrais para
Primeiro, calculamos :
Segundo, calculamos :

Passo 5

Finalizando o Cálculo de
Agora, substituímos os resultados das integrais em :

Passo 6

Calculando os Coeficientes
Os coeficientes são calculados por:
Substituindo :
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 7

Resolvendo as Integrais para
Primeiro, calculamos :
Fazendo a substituição , temos:
Aplicando os limites:
Porque .
Segundo, calculamos :
Vamos integrar termo a termo:
A primeira integral já sabemos como resolver, similar ao passo anterior.
A segunda integral, , requer integração por partes duas vezes ou o uso de uma fórmula específica.

Passo 8

Calculando
Integrando:

Passo 9

Calculando
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes, escolhendo:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Simplificando:
Agora, precisamos resolver por mais uma integração por partes.
Segunda integração por partes:
Aplicando:
A última integral é:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculando em :
Em :
Portanto, a integral fica:

Passo 10

Finalizando o Cálculo de
Agora, substituímos o resultado da integral na expressão de :
Simplificando:

Passo 11

Calculando os Coeficientes
Os coeficientes são calculados por:
Substituindo :
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 12

Resolvendo as Integrais para
Primeiro, calculamos :
Fazendo a substituição , temos:
Aplicando os limites:
Segundo, calculamos :
Vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é:
A segunda integral, , também requer integração por partes duas vezes.

Passo 13

Calculando
Usamos integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes:
Aplicando:
Segunda integração por partes para :
Aplicando:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Aplicando os limites de a :
Simplificando:

Passo 14

Finalizando o Cálculo de
Agora, substituímos os resultados das integrais em :
Simplificando os termos:
Observamos que e , restando apenas:

Passo 15

Montando a Série de Fourier Final
Com os coeficientes calculados, a série de Fourier da função no intervalo é:
Substituindo , e :

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é:

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Determine a série de Fourier de f no intervalo dado:
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integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integralraizx^2+y^2^3 e^zraizx^2+y^2 d z d y d x
Uma expressão integral para a área da região situada entre as curvas y = 20 - 3 x^2 e y = e^x e limitada lateralmente por x = 0 e x = 2 é \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 .