Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em
:
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial usando séries de potência, que são como somas infinitas de termos envolvendo potências de
. O exercício específico é:
Vamos usar uma série de potência com centro em
:
Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar séries de potência, substituir na equação diferencial e encontrar uma relação entre os coeficientes
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as derivadas de
em termos da série de potência. A ideia é que, ao derivar a série, cada termo muda de potência e de coeficiente.
A derivada primeira de
é:
E a derivada segunda é:
Estamos usando a regra de derivação para séries de potência aqui.
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Substituindo as séries:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo para que todas as séries tenham o mesmo índice de potência de
. Para isso, vamos fazer uma mudança de índice nas séries.
Para a primeira série, vamos substituir
por
:
Para o segundo termo, distribuímos o
:
E mantemos a terceira série:
Agora, todas as séries estão em termos de
ou
, com
e
começando em 0.
Passo 5
Agora, podemos combinar todas as séries em uma só, já que todas estão em termos de
com
começando em 0:
Aqui, mudamos o índice do segundo termo para
e do terceiro já está em
.
Passo 6
Agora, como todas as potências de
devem satisfazer a equação para todo
, podemos igualar os coeficientes de cada
a zero:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Essa é a nossa fórmula de recorrência, que nos diz como encontrar
a partir de
.
Passo 8
Para encontrar os coeficientes da série, precisamos de condições iniciais. Geralmente, assumimos
e
como constantes arbitrárias, já que a solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem tem duas constantes.
Assim, temos:
Resposta
A solução em série de potência para a equação diferencial
centrada em
é:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência:
Com
e
sendo constantes arbitrárias definidas pelas condições iniciais.
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no intervalo dado:
em
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