Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
y^prime prime-x y^prime+y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial usando séries de potência, que são como somas infinitas de termos envolvendo potências de y'' - x y' + y = 0 . O exercício específico é:
y = sumn=0^infty an x^n
Vamos usar uma série de potência com centro em :
Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar séries de potência, substituir na equação diferencial e encontrar uma relação entre os coeficientes .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as derivadas de y' = sumn=1^infty an n x^n-1 em termos da série de potência. A ideia é que, ao derivar a série, cada termo muda de potência e de coeficiente.
A derivada primeira de y'' = sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2 é:
E a derivada segunda é:
Estamos usando a regra de derivação para séries de potência aqui.

Passo 3

Agora, vamos substituir y'' - x y' + y = 0 , sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2 - x ( sumn=1^infty an n x^n-1 ) + sumn=0^infty an x^n = 0 e na equação diferencial:
Substituindo as séries:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo para que todas as séries tenham o mesmo índice de potência de sumk=0^infty ak+2 (k+2)(k+1) x^k . Para isso, vamos fazer uma mudança de índice nas séries.
Para a primeira série, vamos substituir - sumn=1^infty an n x^n por sumn=0^infty an x^n :
Para o segundo termo, distribuímos o :
E mantemos a terceira série:
Agora, todas as séries estão em termos de ou , com e começando em 0.

Passo 5

Agora, podemos combinar todas as séries em uma só, já que todas estão em termos de sumk=0^infty ak+2 (k+2)(k+1) x^k - sumk=0^infty ak k x^k + sumk=0^infty ak x^k = 0 com começando em 0:
Aqui, mudamos o índice do segundo termo para e do terceiro já está em .

Passo 6

Agora, como todas as potências de ak+2 (k+2)(k+1) - ak k + ak = 0 devem satisfazer a equação para todo ak+2 (k+2)(k+1) + ak (1 - k) = 0 , podemos igualar os coeficientes de cada a zero:
Simplificando:

Passo 7

Vamos resolver para ak+2 = (k - 1)(k+2)(k+1) ak :
Essa é a nossa fórmula de recorrência, que nos diz como encontrar a partir de .

Passo 8

Para encontrar os coeficientes da série, precisamos de condições iniciais. Geralmente, assumimos ak+2 = (k - 1)(k+2)(k+1) ak para k >= 0 e como constantes arbitrárias, já que a solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem tem duas constantes.
Assim, temos:

Resposta

A solução em série de potência para a equação diferencial y = sumn=0^infty an x^n centrada em an+2 = (n - 1)(n+2)(n+1) an para n >= 0 é:
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência:
Com e sendo constantes arbitrárias definidas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
(x-1) y^prime prime+3 y=0
Encontre o raio e o intervalo de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty n^2 x^n2^n(-1)^n
Determine a série de Fourier de f no intervalo dado:
f(x) = 3 - 2 x em -pi < x < pi
Resolva as equações de Cauchy-Euler a seguir:
x^3 y''' - 2 x^2 y'' - x y' + 9 y = 0