Resolva as equações de Cauchy-Euler a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação diferencial do tipo Cauchy-Euler:
Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente às Equações Cauchy-Euler. Para resolver, precisamos encontrar soluções que se ajustem à forma especial dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
(desde que
):
Isso ajuda a identificar melhor os coeficientes que variam com
.
Passo 3
Em equações de Cauchy-Euler, assumimos uma solução do tipo
. Vamos substituir isso na equação para encontrar o valor de
.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na equação simplificada:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora, todos os termos têm
como fator comum. Podemos fatorar isso:
Como
, a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Passo 6
Vamos expandir e simplificar a equação para encontrar os valores de
:
Primeiro, expanda
:
Agora substituímos de volta:
Expanda
:
Substituindo novamente:
Passo 7
Temos uma equação cúbica:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando possíveis valores inteiros, percebemos que
satisfaz a equação:
Então,
é um fator da equação. Agora, vamos fazer a divisão polinomial para encontrar os outros fatores.
Passo 8
Dividindo
por
:
Portanto, as raízes são
(multiplicidade 2) e
.
Passo 9
Com os valores de
encontrados, as soluções da equação são:
- Para
: - Para
(segunda solução, devido à multiplicidade): - Para
:
Resposta
A solução geral da equação de Cauchy-Euler é:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias.
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