Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em
:
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando série de potência centrada em
. A equação que temos é:
Para isso, vamos assumir que a solução
pode ser expressa como uma série de potência:
Vamos precisar calcular as derivadas de
, substituir na equação e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira e a segunda derivadas de
:
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial original:
Passo 3
Vamos distribuir o
na série:
Simplificando as potências de
:
Passo 4
Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham a mesma potência de
. Para isso, vamos reindexar as somas:
Agora, todas as somas estão em termos de
, o que facilita a comparação dos coeficientes.
Passo 5
Como a equação deve valer para todo
, podemos igualar os coeficientes de
a zero:
Vamos rearranjar para encontrar a relação de recorrência:
Passo 6
Com a relação de recorrência estabelecida, podemos determinar os coeficientes
em termos de
e
. Para isso, precisamos definir os termos iniciais da série. Suponhamos que:
Então, usando a relação de recorrência, podemos calcular os demais coeficientes
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada em série de potência centrada em
��:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência:
com
e
sendo constantes arbitrárias.
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Determine a série de Fourier de
no intervalo dado:
em