Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
(x-1) y^prime prime+3 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando série de potência centrada em (x - 1)y'' + 3y = 0 . A equação que temos é:
y = sumn=0^infty an x^n
Para isso, vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potência:
Vamos precisar calcular as derivadas de , substituir na equação e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira e a segunda derivadas de y' = sumn=1^infty an n x^n-1 :
y'' = sumn=2^infty an n (n - 1) x^n-2
(x - 1)(sumn=2^infty an n (n - 1) x^n-2) + 3(sumn=0^infty an x^n) = 0
Agora, vamos substituir e na equação diferencial original:

Passo 3

Vamos distribuir o x sumn=2^infty an n (n - 1) x^n-2 - sumn=2^infty an n (n - 1) x^n-2 + 3 sumn=0^infty an x^n = 0 na série:
sumn=2^infty an n (n - 1) x^n-1 - sumn=2^infty an n (n - 1) x^n-2 + 3 sumn=0^infty an x^n = 0
Simplificando as potências de :

Passo 4

Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham a mesma potência de sumn=1^infty an+1 (n+1) n x^n - sumn=0^infty an+2 (n+2)(n+1) x^n + 3 sumn=0^infty an x^n = 0 . Para isso, vamos reindexar as somas:
Agora, todas as somas estão em termos de , o que facilita a comparação dos coeficientes.

Passo 5

Como a equação deve valer para todo an+1 (n+1) n - an+2 (n+2)(n+1) + 3 an = 0 , podemos igualar os coeficientes de an+2 = an+1 n + 3 ann + 2 a zero:
Vamos rearranjar para encontrar a relação de recorrência:

Passo 6

Com a relação de recorrência estabelecida, podemos determinar os coeficientes a0 = C (constante arbitrária) em termos de a1 = D (outra constante arbitrária) e . Para isso, precisamos definir os termos iniciais da série. Suponhamos que:
á
á
Então, usando a relação de recorrência, podemos calcular os demais coeficientes .

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada em série de potência centrada em y = sumn=0^infty an x^n ��:
an+2 = n an+1 + 3 ann + 2
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência:
com e sendo constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Encontre o raio e o intervalo de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty n^2 x^n2^n(-1)^n
Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
(x^2-4) y^prime prime-2 x y^prime+9 y=0
Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
y^prime prime-x y^prime+y=0
Determine a série de Fourier de f no intervalo dado:
f(x) = 3 - 2 x em -pi < x < pi