Determine a série de Fourier de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a série de Fourier da função dada por:
Estamos lidando com Séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas, porque isso vai simplificar nossos cálculos. Uma função é:
  • Par se
  • Ímpar se
Vamos verificar:
Comparando com , vemos que , então a função é ímpar.
Isso significa que todos os coeficientes de cosseno serão zero, e somente os senos serão diferentes de zero.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular os coeficientes da série de Fourier para uma função ímpar. A série de Fourier para uma função ímpar em um intervalo a é dada por:
Onde:
No nosso caso, , então a série fica:
E os coeficientes são:

Passo 4

Vamos calcular :
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Integrando novamente:
Então:
Agora, vamos avaliar de a :
Porque e o termo com também sai zero.
Então:
Sabendo que , podemos reescrever:

Passo 5

Agora, vamos montar a série de Fourier com os coeficientes encontrados:
Essa é a série de Fourier da função dada. Ela representa a função no intervalo a , estendida de forma periódica para todo o real.

Resposta

A série de Fourier de é:

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(i) Extensão par ao intervalo é dada por
(ii) Extensão ímpar ao intervalo é fímpar : dada por
Mostre que é par e que í é ímpar.
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(a) Considere o campo vetorial . Desenhe nos pontos das retas , e .