Determine a série de Fourier na forma exponencial de
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. A questão pede para encontrar a série de Fourier na forma exponencial da função
no intervalo
e depois estender essa função periodicamente com período
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de coeficientes de Fourier na forma exponencial e realizar integrais para encontrar esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a série de Fourier na forma exponencial é dada por:
onde
são os coeficientes de Fourier que precisamos determinar.
Passo 3
Os coeficientes
são calculados pela fórmula:
No nosso caso,
, então vamos substituir na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
Essa é uma integral de uma função exponencial complexa. A solução dessa integral é:
onde
. Aplicando os limites de integração:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
:
Podemos simplificar isso utilizando a identidade de Euler para funções hiperbólicas, mas vamos deixar assim para manter a forma exponencial.
Passo 6
Finalmente, substituímos
na série de Fourier:
Essa é a expressão da série de Fourier na forma exponencial para a função
no intervalo dado.
Resposta
A série de Fourier na forma exponencial de
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
e)
e)
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide
.
Seja
. Expanda
em série de Fourier na forma exponencial.
Seja
.
a) Expanda em série de Fourier na forma exponencial. Para quanto converge a série em
?
a) Expanda