Determine a série de Fourier na forma exponencial de

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. A questão pede para encontrar a série de Fourier na forma exponencial da função no intervalo e depois estender essa função periodicamente com período . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de coeficientes de Fourier na forma exponencial e realizar integrais para encontrar esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a série de Fourier na forma exponencial é dada por:
onde são os coeficientes de Fourier que precisamos determinar.

Passo 3

Os coeficientes são calculados pela fórmula:
No nosso caso, , então vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
Essa é uma integral de uma função exponencial complexa. A solução dessa integral é:
onde . Aplicando os limites de integração:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de :
Podemos simplificar isso utilizando a identidade de Euler para funções hiperbólicas, mas vamos deixar assim para manter a forma exponencial.

Passo 6

Finalmente, substituímos na série de Fourier:
Essa é a expressão da série de Fourier na forma exponencial para a função no intervalo dado.

Resposta

A série de Fourier na forma exponencial de no intervalo é:

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Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
e)
Determine o trabalho realizado pelo campo de força sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide .
Seja . Expanda em série de Fourier na forma exponencial.
Seja .
a) Expanda em série de Fourier na forma exponencial. Para quanto converge a série em ?