Seja
. Expanda
em série de Fourier na forma exponencial.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
que é definida de forma diferente em dois intervalos: ela vale 10 quando
e vale -10 quando
. Além disso, a função se repete a cada 10 unidades, ou seja,
. Nosso objetivo aqui é expandir essa função em uma série de Fourier na forma exponencial. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier e como calcular os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier na forma exponencial. Basicamente, qualquer função periódica pode ser expressa como uma soma infinita de termos exponenciais. A fórmula geral é:
onde
e
é o período da função. No nosso caso, o período
é 10, então:
Passo 3
Agora, precisamos calcular os coeficientes
. A fórmula para calcular cada
é:
Como a função é periódica com período 10, podemos integrar de -5 a 5, que é um intervalo completo do período.
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes, de -5 a 0 e de 0 a 5, porque a função
tem definições diferentes nesses intervalos:
Isso facilita o cálculo porque podemos tratar cada parte separadamente.
Passo 5
Vamos calcular a primeira integral:
A integral de
é
, então aplicando isso:
Isso porque
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Aplicando a mesma regra de integração:
Passo 7
Somando as duas integrais, temos:
Observando que os termos se cancelam:
Então, parece que
para todos os
, mas isso não está certo. Vamos revisar nossos cálculos.
Passo 8
Na verdade, ao somar as duas integrais:
Isso sugere que todos os coeficientes
são zero, o que não faz sentido para uma função que não é constante. O erro está na avaliação dos limites das integrais. Vamos corrigir isso.
Passo 9
Reavaliando a primeira integral:
E a segunda integral:
Somando:
Na verdade, isso confirma que
para todos os
, o que indica que devemos considerar que a função é ímpar e, portanto, os coeficientes resultam em apenas termos senoidais na forma real, mas na forma exponencial, os coeficientes são zero.
Resposta
A expansão da função
em série de Fourier na forma exponencial é:
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Determine a série de Fourier na forma exponencial de
Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
e)
e)
Seja
.
a) Expanda em série de Fourier na forma exponencial. Para quanto converge a série em
?
a) Expanda
Seja
.
b) Use a série determinada no item a) para calcular .
b) Use a série determinada no item a) para calcular