Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
e)
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Tenho a função
e preciso representá-la usando uma integral envolvendo seno ou cosseno. Isso está relacionado a transformadas de Fourier, que ajudam a expressar funções em termos de integrais de senos e cossenos. Vamos ver como fazer isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Aqui,
é uma função que decai exponencialmente à medida que
aumenta, e
é a função seno. Juntas, elas formam uma função que é ímpar, porque
é par (simétrica em relação ao eixo y) e
é ímpar.
Passo 3
Como a função
é ímpar, podemos representá-la usando a integral seno da Transformada de Fourier. A fórmula geral para a Transformada de Fourier de uma função ímpar
é:
Aqui,
é a frequência angular.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula à nossa função
. Primeiro, note que
para
é simplesmente
, já que
. Portanto, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a integral. Podemos usar a identidade trigonométrica para o produto de senos:
Aplicando isso na integral:
Passo 6
Agora, a integral se divide em duas partes:
Sabemos que:
Passo 7
Aplicando isso às nossas integrais:
Passo 8
Vamos simplificar os denominadores:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão:
Passo 10
Podemos combinar as frações:
Simplificando o numerador:
Passo 11
Então, a expressão fica:
Simplificando:
Resposta
A representação da função
por uma integral seno adequada é: