Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
e)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Tenho a função e preciso representá-la usando uma integral envolvendo seno ou cosseno. Isso está relacionado a transformadas de Fourier, que ajudam a expressar funções em termos de integrais de senos e cossenos. Vamos ver como fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Aqui, é uma função que decai exponencialmente à medida que aumenta, e é a função seno. Juntas, elas formam uma função que é ímpar, porque é par (simétrica em relação ao eixo y) e é ímpar.

Passo 3

Como a função é ímpar, podemos representá-la usando a integral seno da Transformada de Fourier. A fórmula geral para a Transformada de Fourier de uma função ímpar é:
Aqui, é a frequência angular.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula à nossa função . Primeiro, note que para é simplesmente , já que . Portanto, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral. Podemos usar a identidade trigonométrica para o produto de senos:
Aplicando isso na integral:

Passo 6

Agora, a integral se divide em duas partes:
Sabemos que:

Passo 7

Aplicando isso às nossas integrais:

Passo 8

Vamos simplificar os denominadores:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:

Passo 10

Podemos combinar as frações:
Simplificando o numerador:

Passo 11

Então, a expressão fica:
Simplificando:

Resposta

A representação da função por uma integral seno adequada é:

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