Beleza, vamos resolver esse exercício de Fourier! A gente precisa encontrar a série de Fourier de uma função periódica que é definida por partes. A função tem período 4, ou seja, . Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. No caso, temos que omega = pi2 , então o período é 4. Isso significa que a frequência fundamental é dada por:
Isso é importante para definir as funções trigonométricas na série de Fourier.
Passo 3
Agora, vamos determinar os coeficientes da série de Fourier. A série geral para uma função periódica par ou ímpar pode ser escrita com cossenos e senos. Porém, observando a definição de , vemos que ela é uma função ímpar, pois . Isso simplifica nossa série, pois apenas os termos com seno vão aparecer (já que cossenos correspondem a funções pares).
Passo 4
Como a função é ímpar, o coeficiente f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi x2) é zero. Os coeficientes também serão zero, e apenas os coeficientes vão existir. A série de Fourier então fica:
Nosso foco agora é calcular os coeficientes .
Passo 5
Para calcular bn = 2T integral0^T f(x) sin(npi xT) dx , usamos a fórmula: