Determine a série de Fourier da função dada:
f(x)=ll-1 & se -2 <= x <= 0 1 & se 0 <= x <= 2 0 & se f(x+4)=f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Fourier! A gente precisa encontrar a série de Fourier de uma função periódica que é definida por partes. A função tem período 4, ou seja, . Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. No caso, temos que omega = pi2 , então o período é 4. Isso significa que a frequência fundamental é dada por:
Isso é importante para definir as funções trigonométricas na série de Fourier.

Passo 3

Agora, vamos determinar os coeficientes da série de Fourier. A série geral para uma função periódica par ou ímpar pode ser escrita com cossenos e senos. Porém, observando a definição de , vemos que ela é uma função ímpar, pois . Isso simplifica nossa série, pois apenas os termos com seno vão aparecer (já que cossenos correspondem a funções pares).

Passo 4

Como a função é ímpar, o coeficiente f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi x2) é zero. Os coeficientes também serão zero, e apenas os coeficientes vão existir. A série de Fourier então fica:
Nosso foco agora é calcular os coeficientes .

Passo 5

Para calcular bn = 2T integral0^T f(x) sin(npi xT) dx , usamos a fórmula:
bn = 12 integral-2^2 f(x) sin(npi x2) dx
Substituindo bn = 22 integral0^2 f(x) sin(npi x2) dx = integral0^2 f(x) sin(npi x2) dx e simplificando:
bn = integral0^2 sin(npi x2) dx = [ -2npi cos(npi x2) ]0^2
Como a função é ímpar, podemos simplificar ainda mais para:
bn = -2npi [ cos(npi) - cos(0) ] = -2npi [ (-1)^n - 1 ]
Dentro do intervalo bn = 2npi (1 - (-1)^n ) , bn = 4npi , então:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Isso mostra que para par, , e para ímpar:

Passo 6

Com os coeficientes determinados, a série de Fourier da função f(x) = sumk=0^infty 4(2k + 1)pi sin((2k + 1)pi x2) fica:
Aqui, representa os termos ímpares da série.

Resposta

A série de Fourier da função f(x) = sumk=0^infty 4(2k + 1)pi sin((2k + 1)pi x2) é:

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A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode ser periódica. Dê um exemplo.
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