A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode ser periódica. Dê um exemplo.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre funções periódicas! O problema pede para darmos um exemplo de duas funções que têm períodos diferentes, mas cuja soma também é periódica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica, o que significa ter períodos diferentes e como somar essas funções mantendo a periodicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é periódica se existe um número positivo tal que para todo . Esse número é chamado de período da função.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar duas funções com períodos diferentes. Vamos escolher funções trigonométricas simples, como o seno. Por exemplo:
  • tem período .
  • tem período .
Aqui, e têm períodos diferentes: e , respectivamente.

Passo 4

Vamos somar essas duas funções:

Passo 5

Para que a soma seja periódica, precisamos encontrar um período comum para e . Observando os períodos e , vemos que é um múltiplo de . Isso significa que o menor período comum é .

Passo 6

Vamos verificar se é realmente periódica com período :
Sabemos que:
Portanto:
Isso confirma que tem período , mesmo que e tenham períodos diferentes.

Resposta

Um exemplo é com período e com período . A soma é periódica com período .

Exercícios relacionados

Determine a série de Fourier da função dada:
f(x)=ll-1 & se -2 <= x <= 0 1 & se 0 <= x <= 2 0 & se f(x+4)=f(x)
Determine a série de Fourier da função dada:
f(x)=lll0 & se -2 <= x <= 0 2 & se 0 <= x <= 2 f(x+4)=f(x)
Determine a série de Fourier da função dada:
f(x) = x no intervalo [-pi, pi]
Determine a série de Fourier da função dada:
f(x)=ll-x / 2 & se -2 <= x<0 2 x-x^22 & se 0 <= x<2 f(x+4)=f(x)