A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode ser periódica. Dê um exemplo.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre funções periódicas! O problema pede para darmos um exemplo de duas funções que têm períodos diferentes, mas cuja soma também é periódica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica, o que significa ter períodos diferentes e como somar essas funções mantendo a periodicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é periódica se existe um número positivo tal que para todo . Esse número é chamado de período da função.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar duas funções com períodos diferentes. Vamos escolher funções trigonométricas simples, como o seno. Por exemplo:
tem período .
tem período .
Aqui, e têm períodos diferentes: e , respectivamente.
Passo 4
Vamos somar essas duas funções:
Passo 5
Para que a soma seja periódica, precisamos encontrar um período comum para e . Observando os períodos e , vemos que é um múltiplo de . Isso significa que o menor período comum é .
Passo 6
Vamos verificar se é realmente periódica com período :
Sabemos que:
Portanto:
Isso confirma que tem período , mesmo que e tenham períodos diferentes.
Resposta
Um exemplo é com período e com período . A soma é periódica com período .