A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode ser periódica. Dê um exemplo.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre funções periódicas! O problema pede para darmos um exemplo de duas funções que têm períodos diferentes, mas cuja soma também é periódica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica, o que significa ter períodos diferentes e como somar essas funções mantendo a periodicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função
é periódica se existe um número positivo
tal que
para todo
. Esse número
é chamado de período da função.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar duas funções com períodos diferentes. Vamos escolher funções trigonométricas simples, como o seno. Por exemplo:
-
tem período . -
tem período .
Aqui,
e
têm períodos diferentes:
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos somar essas duas funções:
Passo 5
Para que a soma
seja periódica, precisamos encontrar um período comum para
e
. Observando os períodos
e
, vemos que
é um múltiplo de
. Isso significa que o menor período comum é
.
Passo 6
Vamos verificar se
é realmente periódica com período
:
Sabemos que:
Portanto:
Isso confirma que
tem período
, mesmo que
e
tenham períodos diferentes.
Resposta
Um exemplo é
com período
e
com período
. A soma
é periódica com período
.