Determine a série de Fourier da função dada:
f(x)=lll0 & se -2 <= x <= 0 2 & se 0 <= x <= 2 f(x+4)=f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a série de Fourier da função f(x) = 0 & se -2 <= x <= 0 2 & se 0 <= x <= 2 , com f(x+4) = f(x) que é definida assim:
Isso significa que a função tem período 4 e é uma forma de onda quadrada. Vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas, calcular os coeficientes , e para montar a série final.

Passo 2

Primeiro, identificamos o período da função, que é f(x) = a0 + sumn=1^infty [ an cos(npi x2) + bn sin(npi x2) ] . A série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:
Aqui, .

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente a0 = 1T integral-2^2 f(x) , dx = 14 ( integral-2^0 0 , dx + integral0^2 2 , dx ) = 14 times (0 + 4) = 1 , que representa a média da função no período:
Então, .

Passo 4

Agora, calculamos os coeficientes an = 2T integral-2^2 f(x) cos(npi x2) , dx = 24 ( integral-2^0 0 cdot cos(npi x2) , dx + integral0^2 2 cos(npi x2) , dx ) = 0 . Como a função não é par (ou seja, ), os coeficientes serão zero:
Então, .

Passo 5

Vamos calcular agora os coeficientes bn = 2T integral-2^2 f(x) sin(npi x2) , dx = 24 ( integral-2^0 0 cdot sin(npi x2) , dx + integral0^2 2 sin(npi x2) , dx ) :
bn = 12 times 2 integral0^2 sin(npi x2) , dx = integral0^2 sin(npi x2) , dx
Simplificando:
integral sin(npi x2) , dx = -2npi cos(npi x2) + C
Integrando:
bn = -2npi [ cos(npi) - cos(0) ] = -2npi [ (-1)^n - 1 ] = 2npi (1 - (-1)^n )
Avaliado de 0 a 2:

Passo 6

Agora, montamos a série de Fourier utilizando os coeficientes encontrados:
f(x) = a0 + sumn=1^infty [ an cos(npi x2) + bn sin(npi x2) ] = 1 + sumn=1^infty [ 0 + 2npi (1 - (-1)^n ) sin(npi x2) ]
Podemos simplificar observando que f(x) = 1 + 4pi [ sin(pi x2) + 13 sin(3pi x2) + 15 sin(5pi x2) + cdots ] é zero para par e 2 para ímpar. Portanto, a série fica:

Resposta

A série de Fourier da função dada é:
f(x) = 1 + 4pi sumk=1^infty 12k - 1 sin( (2k - 1)pi x2 )

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