Determine a série de Fourier da função dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a série de Fourier da função
que é definida assim:
Isso significa que a função tem período 4 e é uma forma de onda quadrada. Vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas, calcular os coeficientes
,
e
para montar a série final.
Passo 2
Primeiro, identificamos o período da função, que é
. A série de Fourier para uma função periódica com período
é dada por:
Aqui,
.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no período:
Então,
.
Passo 4
Agora, calculamos os coeficientes
. Como a função
não é par (ou seja,
), os coeficientes
serão zero:
Então,
.
Passo 5
Vamos calcular agora os coeficientes
:
Simplificando:
Integrando:
Avaliado de 0 a 2:
Passo 6
Agora, montamos a série de Fourier utilizando os coeficientes encontrados:
Podemos simplificar observando que
é zero para
par e 2 para
ímpar. Portanto, a série fica:
Resposta
A série de Fourier da função dada é:
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A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode não ser periódica. Dê um exemplo.
Mostre, usando a definição de integral tripla, que se
, com
constante, então
é integrável no paralelepípedo
Determine a série de Fourier da função dada:
A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode ser periódica. Dê um exemplo.