A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode não ser periódica. Dê um exemplo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que quando somamos duas funções que se repetem no tempo (chamadas de funções periódicas) mas que têm períodos diferentes, o resultado nem sempre vai se repetir. Vamos precisar entender o que é uma função periódica e como os períodos das funções influenciam na soma delas.

Passo 2

Primeiro, uma função periódica é aquela que se repete após um certo intervalo de tempo, chamado de período. Por exemplo, a função seno, , é periódica com período , porque para qualquer .

Passo 3

Vamos escolher duas funções periódicas com períodos diferentes. Um bom exemplo são:
  • , que tem período .
  • , que tem período .

Passo 4

Agora, vamos somar essas duas funções:

Passo 5

Para que seja periódica, deve existir um período comum tal que seja múltiplo de ambos e . Isso significa que e devem ser números inteiros. Porém, como é um número irracional, não existe um número inteiro que satisfaça essa condição para os períodos escolhidos. Portanto, não há um período comum para e , e a soma não será periódica.

Resposta

Um exemplo é , cuja soma não é periódica.

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