Determine a série de Fourier da função dada:
f(x)=ll-1 & se -2 <= x <= 0 1 & se 0 <= x <= 2 f(x+4)=f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função que é definida de forma periódica com período 4. Isso está dentro do conteúdo de séries de Fourier, que permite representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função f(x) = -1 & se -2 <= x <= 0 1 & se 0 <= x <= 2 . Ela é definida da seguinte forma:
E está repetida a cada 4 unidades, ou seja, . Isso significa que a função é ímpar ou par? Como a função não é simétrica nem ímpar nem par, teremos tanto termos de cosseno quanto de seno na série de Fourier.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente a0 = 1T integral-T/2^T/2 f(x) , dx , que representa o valor médio da função no intervalo de um período. A fórmula é:
a0 = 14 ( integral-2^0 (-1) , dx + integral0^2 1 , dx ) = 14 ( (-1)(0 - (-2)) + 1(2 - 0) ) = 14 ( -2 + 2 ) = 0
Onde . Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 2T integral-T/2^T/2 f(x) cos( npi xL ) dx . A fórmula geral é:
an = 24 ( integral-2^0 (-1) cos( npi x2 ) dx + integral0^2 1 cos( npi x2 ) dx )
Onde an = 12 ( - cdot 2npi sin( npi x2 ) |-2^0 + 2npi sin( npi x2 ) |0^2 ) = 12 ( - cdot 2npi [0 - 0] + 2npi [0 - 0] ) = 0 . Então,
Calculando as integrais:

Passo 5

Por fim, vamos calcular os coeficientes bn = 2T integral-T/2^T/2 f(x) sin( npi xL ) dx . A fórmula é:
bn = 24 ( integral-2^0 (-1) sin( npi x2 ) dx + integral0^2 1 sin( npi x2 ) dx ) = 12 ( - cdot ( -2npi cos( npi x2 ) |-2^0 ) + 2npi ( -cos( npi x2 ) |0^2 ) )
Substituindo os valores:
bn = 12 ( 2npi [cos(0) - cos(-npi)] - 2npi [cos(npi) - cos(0)] ) = 1npi [1 - (-1)^n - ( (-1)^n - 1 )] = 4npi para n ímpar
Simplificando:
í
Para par, .

Resposta

A série de Fourier da função f(x) = 4pi ( sin( pi x2 ) + 13 sin( 3pi x2 ) + 15 sin( 5pi x2 ) + cdots ) é dada por:
f(x) = 4pi sumk=1,3,5,dots 1k sin( kpi x2 )
Ou seja,

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