Determine a série de Fourier da função dada:
f(x)=lll-x & se -2 <= x <= 0 x & se 0 <= x <= 2
f(x+4)=f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a série de Fourier da função f(x) = -,x & se -2 <= x <= 0 ,x & se 0 <= x <= 2 definida por partes:
E sabemos que , ou seja, a função é periódica com período . Para resolver isso, vamos usar a teoria das séries de Fourier para funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar se a função é par ou ímpar, ou nenhuma das duas. Uma função par satisfaz e uma função ímpar satisfaz . No nosso caso:
Para , .
Para , .
Então, , o que significa que nossa função é par. Isso simplifica os cálculos porque na série de Fourier de funções pares, os coeficientes (seno) são zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier. Como a função é par, a série será composta apenas pelos termos de cosseno (coeficientes a0 = 1T integral-2^2 f(x) , dx ) e pelo termo constante an = 2T integral-2^2 f(x) cos(npi x2) dx .
A fórmula para a0 = 14 [ integral-2^0 (-x) dx + integral0^2 x dx ] = 14 [ integral0^2 x dx + integral0^2 x dx ] = 14 cdot 2 integral0^2 x dx é:
E para :
Já que a função é par, podemos simplificar as integrais usando apenas o intervalo de a :

Passo 4

Calculando a0 = 12 integral0^2 x dx = 12 [ x^22 ]0^2 = 12 ( 42 - 0 ) = 12 cdot 2 = 1 :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular an = 24 integral0^2 x cos( npi x2 ) dx = 12 integral0^2 x cos( npi x2 ) dx :
u = x Rightarrow du = dx
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
dv = cos( npi x2 ) dx Rightarrow v = 2npi sin( npi x2 )

Passo 6

Aplicando integração por partes:
integral x cos( npi x2 ) dx = x cdot 2npi sin( npi x2 ) - integral 2npi sin( npi x2 ) dx
Calculando a segunda integral:
integral sin( npi x2 ) dx = -2npi cos( npi x2 ) + C
Então,
integral x cos( npi x2 ) dx = 2xnpi sin( npi x2 ) + 4(npi)^2 cos( npi x2 ) + C

Passo 7

Agora, avaliando de 0 a 2:
[ 2xnpi sin( npi x2 ) + 4(npi)^2 cos( npi x2 ) ]0^2
Substituindo 4npi sin(npi) + 4(npi)^2 cos(npi) :
0 + 4(npi)^2 cos(0) = 4(npi)^2
E 4npi sin(npi) + 4(npi)^2 cos(npi) - 4(npi)^2 :
4(npi)^2 [(-1)^n - 1]
Então, a diferença é:
Como e , ficamos com:

Passo 8

Substituindo de volta em an = 12 cdot 4(npi)^2 [(-1)^n - 1] = 2(npi)^2 [(-1)^n - 1] :
an = 2(npi)^2 [(-1)^n - 1] = 0 & se n é par -4(npi)^2 & se n é ímpar
Podemos simplificar:
ééí

Resposta

A série de Fourier da função f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos( npi x2 ) é dada por:
a0 = 1
Onde:
an = 0 & se n é par -4(npi)^2 & se n é ímpar
f(x) = 12 - sumk=1^infty 4((2k-1)pi)^2 cos( (2k-1)pi x2 ) ééí
Portanto, a série de Fourier fica:

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