Determine a série de Fourier da função dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a série de Fourier da função
definida por partes:
E sabemos que
, ou seja, a função é periódica com período
. Para resolver isso, vamos usar a teoria das séries de Fourier para funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar se a função é par ou ímpar, ou nenhuma das duas. Uma função par satisfaz
e uma função ímpar satisfaz
. No nosso caso:
Para
,
.
Para
,
.
Então,
, o que significa que nossa função é par. Isso simplifica os cálculos porque na série de Fourier de funções pares, os coeficientes
(seno) são zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier. Como a função é par, a série será composta apenas pelos termos de cosseno (coeficientes
) e pelo termo constante
.
A fórmula para
é:
E para
:
Já que a função é par, podemos simplificar as integrais usando apenas o intervalo de
a
:
Passo 4
Calculando
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
Passo 6
Aplicando integração por partes:
Calculando a segunda integral:
Então,
Passo 7
Agora, avaliando de 0 a 2:
Substituindo
:
E
:
Então, a diferença é:
Como
e
, ficamos com:
Passo 8
Substituindo de volta em
:
Podemos simplificar:
Resposta
A série de Fourier da função
é dada por:
Onde:
Portanto, a série de Fourier fica: