Determine a série de Fourier da função dada:
Passo 1
Beleza, vamos determinar a série de Fourier da função
que é periódica com período 2. A função está definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a série de Fourier para funções periódicas, calculando os coeficientes
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente
, que representa a média da função sobre um período. A fórmula para
é:
Como o período
, temos
. Porém, nossa função está definida de 0 a 2, então ajustamos os limites da integral:
Passo 3
Vamos calcular
:
A segunda integral é zero, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os coeficientes
para
. A fórmula é:
Com
e ajustando os limites:
A segunda integral é zero, então:
Passo 5
Vamos resolver
:
A primeira integral:
Porque
para todo inteiro
.
A segunda integral usa integração por partes:
Avaliando de 0 a 1:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
. A fórmula é:
Ajustando os limites:
A segunda integral é zero, então:
Passo 7
Vamos resolver
:
A primeira integral:
A segunda integral usa integração por partes:
Avaliando de 0 a 1:
Então:
Resposta
A série de Fourier da função
é dada por: