Determine a série de Fourier da função dada:
f(x)=ll1-x & se 0

Passo 1

Beleza, vamos determinar a série de Fourier da função f(x) = 1 - x & se 0 < x <= 1 0 & se 1 < x <= 2 que é periódica com período 2. A função está definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a série de Fourier para funções periódicas, calculando os coeficientes , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente a0 = 1L integral-L^L f(x) , dx , que representa a média da função sobre um período. A fórmula para a0 = 11 integral0^2 f(x) , dx é:
Como o período , temos . Porém, nossa função está definida de 0 a 2, então ajustamos os limites da integral:

Passo 3

Vamos calcular a0 = integral0^1 (1 - x) , dx + integral1^2 0 , dx :
a0 = integral0^1 (1 - x) , dx = [ x - x^22 ]0^1 = (1 - 12) - (0 - 0) = 12
A segunda integral é zero, então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os coeficientes an = 1L integral-L^L f(x) cos(npi xL) dx para an = integral0^2 f(x) cos(npi x) , dx = integral0^1 (1 - x) cos(npi x) , dx + integral1^2 0 cdot cos(npi x) , dx . A fórmula é:
an = integral0^1 (1 - x) cos(npi x) , dx
Com e ajustando os limites:
A segunda integral é zero, então:

Passo 5

Vamos resolver an = integral0^1 cos(npi x) , dx - integral0^1 x cos(npi x) , dx :
integral0^1 cos(npi x) , dx = [ sin(npi x)npi ]0^1 = sin(npi)npi - 0 = 0
A primeira integral:
integral x cos(npi x) , dx = x sin(npi x)npi - cos(npi x)(npi)^2
Porque [ x sin(npi x)npi - cos(npi x)(npi)^2 ]0^1 = ( sin(npi)npi - cos(npi)(npi)^2 ) - ( 0 - 1(npi)^2 ) para todo inteiro an = 0 - ( 0 - (-1)^n(npi)^2 + 1(npi)^2 ) = 1 - (-1)^n(npi)^2 .
A segunda integral usa integração por partes:
Avaliando de 0 a 1:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes bn = 1L integral-L^L f(x) sin(npi xL) dx para bn = integral0^2 f(x) sin(npi x) , dx = integral0^1 (1 - x) sin(npi x) , dx + integral1^2 0 cdot sin(npi x) , dx . A fórmula é:
bn = integral0^1 (1 - x) sin(npi x) , dx
Ajustando os limites:
A segunda integral é zero, então:

Passo 7

Vamos resolver bn = integral0^1 sin(npi x) , dx - integral0^1 x sin(npi x) , dx :
integral0^1 sin(npi x) , dx = [ -cos(npi x)npi ]0^1 = -cos(npi)npi + 1npi = 1 - cos(npi)npi
A primeira integral:
integral x sin(npi x) , dx = -x cos(npi x)npi + sin(npi x)(npi)^2
A segunda integral usa integração por partes:
[ -x cos(npi x)npi + sin(npi x)(npi)^2 ]0^1 = ( -cos(npi)npi + 0 ) - ( 0 + 0 ) = -(-1)^nnpi
Avaliando de 0 a 1:
bn = 1 - (-1)^nnpi + (-1)^nnpi = 1npi (1 - (-1)^n + (-1)^n) = 1npi
Então:

Resposta

A série de Fourier da função f(x) = 12 + sumn=1^infty ( 1 - (-1)^n(npi)^2 cos(npi x) + 1npi sin(npi x) ) é dada por:

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