Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada: ointC 2 z-3z(z-1) d z, |z|=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o Teorema dos Resíduos! O enunciado nos dá a integral de uma função racional ao redor do círculo . Pra isso, vamos precisar identificar os polos da função dentro desse círculo e calcular os respectivos resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função z(z - 1) = 0 implies z = 0 ou z = 1 . Os polos são os valores de que fazem o denominador igual a zero. Então:

Passo 3

Agora, vamos verificar quais desses polos estão dentro do círculo . Como e são ambos menores que , ambos os polos e estão dentro do caminho de integração.

Passo 4

O próximo passo é calcular os resíduos dessas funções nos polos Res(2z - 3z(z - 1), 0) = limz to 0 z cdot 2z - 3z(z - 1) = limz to 0 2z - 3z - 1 = -3-1 = 3 e Res(2z - 3z(z - 1), 1) = limz to 1 (z - 1) cdot 2z - 3z(z - 1) = limz to 1 2z - 3z = 2(1) - 31 = -1 .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, segundo o Teorema dos Resíduos, a integral ao redor do contorno ointC 2z - 3z(z - 1) dz = 2pi i (3 + (-1)) = 2pi i cdot 2 = 4pi i é igual a vezes a soma dos resíduos dentro desse contorno. Então:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados