Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o Teorema dos Resíduos! O enunciado nos dá a integral de uma função racional ao redor do círculo
. Pra isso, vamos precisar identificar os polos da função dentro desse círculo e calcular os respectivos resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos da função
. Os polos são os valores de
que fazem o denominador igual a zero. Então:
Passo 3
Agora, vamos verificar quais desses polos estão dentro do círculo
. Como
e
são ambos menores que
, ambos os polos
e
estão dentro do caminho de integração.
Passo 4
O próximo passo é calcular os resíduos dessas funções nos polos
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, segundo o Teorema dos Resíduos, a integral ao redor do contorno
é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro desse contorno. Então:
Resposta
A integral
é igual a
.