Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada: ointC cos (z)z^2 d z, |z|=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de contorno onde é o círculo de raio 2 no plano complexo ( ). Para isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa em análise complexa para calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da função dentro do contorno . A função é inteira (não tem singularidades), então a única singularidade vem do denominador , que é uma polo de ordem 2 em .

Passo 3

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a vezes a soma dos resíduos de dentro de . Então, precisamos calcular o resíduo de em .

Passo 4

Como temos uma polo de ordem 2 em Res(f, 0) = 1(n-1)! limz to 0 d^n-1dz^n-1 [ (z - 0)^n f(z) ] , usamos a fórmula para calcular o resíduo em um polo de ordem Res(cos(z)z^2, 0) = 11! limz to 0 ddz [ z^2 cdot cos(z)z^2 ] = limz to 0 ddz [cos(z)] :
No nosso caso, , então:

Passo 5

Calculando a derivada:
ddz [cos(z)] = -sin(z)
Então,
Res(cos(z)z^2, 0) = limz to 0 (-sin(z)) = -sin(0) = 0

Passo 6

Agora que temos o resíduo, aplicamos o Teorema dos Resíduos:
ointC cos(z)z^2 , dz = 2pi i cdot Res(cos(z)z^2, 0) = 2pi i cdot 0 = 0

Resposta

A integral é igual a zero.

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