Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de contorno
onde
é o círculo de raio 2 no plano complexo (
). Para isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa em análise complexa para calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da função
dentro do contorno
. A função
é inteira (não tem singularidades), então a única singularidade vem do denominador
, que é uma polo de ordem 2 em
.
Passo 3
Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral
é igual a
vezes a soma dos resíduos de
dentro de
. Então, precisamos calcular o resíduo de
em
.
Passo 4
Como temos uma polo de ordem 2 em
, usamos a fórmula para calcular o resíduo em um polo de ordem
:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Calculando a derivada:
Então,
Passo 6
Agora que temos o resíduo, aplicamos o Teorema dos Resíduos:
Resposta
A integral é igual a zero.