Mostre, usando a definição de integral tripla, que se
, com
constante, então
é integrável no paralelepípedo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando a definição de integral tripla, que se a função
for constante igual a
, então sua integral sobre o paralelepípedo
é igual a
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Vamos precisar entender a definição de integral tripla e como ela se aplica a funções constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral tripla. É uma extensão da integral simples para funções de três variáveis, e ela calcula o “volume” sob a superfície da função dentro de uma região tridimensional. No nosso caso, a função
é constante, ou seja, não varia com
,
ou
.
Passo 3
A definição de integral tripla sobre a região
é dada por:
Como
, podemos substituir na integral:
Passo 4
Como
é uma constante, ele pode ser tirado da integral:
Agora, o que resta é encontrar a integral da função constante 1 sobre o paralelepípedo
.
Passo 5
A integral da função 1 sobre
é simplesmente o volume da região
. Um paralelepípedo com lados de comprimento
,
e
tem volume:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão anterior:
Então, mostramos que:
Resposta
A integral tripla de
sobre o paralelepípedo
é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
. Represente geometricamente
, sendo
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule
sendo
(d)
(d)
A soma de duas funções periódicas de períodos diferentes pode não ser periódica. Dê um exemplo.
Determine a série de Fourier da função dada: