Mostre, usando a definição de integral tripla, que se f(x, y, z) equiv k, com k constante, então f é integrável no paralelepípedo B=[a, b] times[c, d] times[r, s] e
integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z=k(b-a)(d-c)(s-r)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando a definição de integral tripla, que se a função for constante igual a , então sua integral sobre o paralelepípedo é igual a . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Vamos precisar entender a definição de integral tripla e como ela se aplica a funções constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral tripla. É uma extensão da integral simples para funções de três variáveis, e ela calcula o “volume” sob a superfície da função dentro de uma região tridimensional. No nosso caso, a função é constante, ou seja, não varia com , ou .

Passo 3

A definição de integral tripla sobre a região integral triplaB f(x, y, z) , dx , dy , dz é dada por:
integral triplaB k , dx , dy , dz
Como , podemos substituir na integral:

Passo 4

Como k integral triplaB dx , dy , dz é uma constante, ele pode ser tirado da integral:
Agora, o que resta é encontrar a integral da função constante 1 sobre o paralelepípedo .

Passo 5

A integral da função 1 sobre (b - a)(d - c)(s - r) é simplesmente o volume da região integral triplaB dx , dy , dz = (b - a)(d - c)(s - r) . Um paralelepípedo com lados de comprimento , e tem volume:
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
k times (b - a)(d - c)(s - r) = k(b - a)(d - c)(s - r)
Então, mostramos que:
integral triplaB f(x, y, z) , dx , dy , dz = k(b - a)(d - c)(s - r)

Resposta

A integral tripla de sobre o paralelepípedo é igual a .

Exercícios relacionados