Determine a série de Fourier da função dada:
periódica de periodo
Passo 1
Beleza! A gente vai determinar a série de Fourier da função
definida no intervalo
e que é periódica com período
. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de uma função periódica
com período
pode ser escrita como:
Aqui,
,
e
são os coeficientes de Fourier que precisamos calcular.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo:
Integrando
de
a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração de produtos de exponenciais e cossenos. A solução é:
Passo 5
Em seguida, calculamos os coeficientes
:
Usando uma técnica similar à dos coeficientes
, obtemos:
Resposta
Com todos os coeficientes calculados, a série de Fourier da função
é:
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Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Ache
e
.
Ache o limite indicado, se ele existir.
c)
c)