Determine a série de Fourier da função dada:
f(x) = e^x, -pi <= x < pi periódica de periodo 2 pi

Passo 1

Beleza! A gente vai determinar a série de Fourier da função definida no intervalo e que é periódica com período . Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de uma função periódica com período pode ser escrita como:
Aqui, , e são os coeficientes de Fourier que precisamos calcular.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo:
Integrando de a :

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração de produtos de exponenciais e cossenos. A solução é:

Passo 5

Em seguida, calculamos os coeficientes :
Usando uma técnica similar à dos coeficientes , obtemos:

Resposta

Com todos os coeficientes calculados, a série de Fourier da função é:

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