Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, então temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la em uma forma mais comum de equação diferencial linear. Dividindo ambos os lados por 2, temos:
Agora, a equação está na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Calculando:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos simplificar o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito:
Então:
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Simplificando as potências de
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Para as equações diferenciais dadas:
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.
Determine a série de Fourier da função dada:
periódica de periodo
Ache
e
.