Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

Beleza, então temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la em uma forma mais comum de equação diferencial linear. Dividindo ambos os lados por 2, temos:
Agora, a equação está na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Calculando:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos simplificar o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito:
Então:

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Simplificando as potências de :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Para as equações diferenciais dadas:
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.
Determine a série de Fourier da função dada:
periódica de periodo
Ache e .