Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, então temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la em uma forma mais comum de equação diferencial linear. Dividindo ambos os lados por 2, temos:
Agora, a equação está na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Calculando:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos simplificar o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito:
Então:
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Simplificando as potências de
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do problema é: