Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante. Basicamente, isso ajuda a transformar a equação em algo que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes na equação padrão da forma:
Comparando com a equação dada, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Como estamos trabalhando com
(assumindo para simplificar), podemos escrever:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A equação fica:
Passo 5
Observamos que a parte da esquerda da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita muito a resolução, porque a derivada é igual a uma função conhecida.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo simplesmente volta a expressão dentro da derivada:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: