Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y' - 1/x * y = -x.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante. Basicamente, isso ajuda a transformar a equação em algo que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes na equação padrão da forma:
Comparando com a equação dada, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :
Como estamos trabalhando com (assumindo para simplificar), podemos escrever:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A equação fica:

Passo 5

Observamos que a parte da esquerda da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso facilita muito a resolução, porque a derivada é igual a uma função conhecida.

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo simplesmente volta a expressão dentro da derivada:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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