Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante. Basicamente, isso ajuda a transformar a equação em algo que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes na equação padrão da forma:
Comparando com a equação dada, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Como estamos trabalhando com
(assumindo para simplificar), podemos escrever:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A equação fica:
Passo 5
Observamos que a parte da esquerda da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita muito a resolução, porque a derivada é igual a uma função conhecida.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo simplesmente volta a expressão dentro da derivada:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Para as equações diferenciais dadas:
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.
(i) Determine os pontos de equilíbrio.
(ii) Determine como varia o crescimento das soluções.
(iii) Determine como varia a concavidade das soluções.
(iv) Classifique cada um dos pontos de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
(v) Esboce algumas soluções da equação usando os resultados dos itens anteriores.
Resolva as equações diferenciais.
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Determine a série de Fourier da função dada:
periódica de periodo