, onde
é a fronteira da região limitada por
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral de linha. O enunciado pede para calcular a integral fechada
, onde
é a fronteira da região limitada pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha, o Teorema de Green e como determinar a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
. Temos duas equações:
-
que podemos reescrever como . -
que simplifica para .
Isso significa que a região limitada por essas duas curvas está entre a parábola
e a linha reta
. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então, a região
está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos diz que uma integral de linha fechada pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região limitada pela curva. O Teorema de Green é dado por:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo no Teorema de Green:
Então, a integral de linha se transforma em:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a área da região
multiplicada por 9. A região
está entre
e
, de
a
. A área é dada por:
Vamos calcular essa integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
A diferença é:
Então, a área é
.
Passo 6
Finalmente, multiplicamos a área pela constante 9 que encontramos anteriormente:
Portanto, o valor da integral fechada é 96.
Resposta
A integral fechada
vale 96.
Exercícios relacionados
A figura mostra uma roda em rotação com raio de 40 cm e uma barra de conexão
com comprimento de
. O pino
desliza para a frente e para trás no eixo
à medida que a roda gira em sentido anti-horário a uma taxa de 360 revoluções por minuto.
Expresse a distância
em termos de
.
Determine a série de Fourier da função dada.