, onde é a fronteira da região limitada por e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral de linha. O enunciado pede para calcular a integral fechada , onde é a fronteira da região limitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha, o Teorema de Green e como determinar a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região . Temos duas equações:
  1. que podemos reescrever como .
  2. que simplifica para .
Isso significa que a região limitada por essas duas curvas está entre a parábola e a linha reta . Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então, a região está entre e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos diz que uma integral de linha fechada pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região limitada pela curva. O Teorema de Green é dado por:
No nosso caso, e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Substituindo no Teorema de Green:
Então, a integral de linha se transforma em:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a área da região multiplicada por 9. A região está entre e , de a . A área é dada por:
Á
Vamos calcular essa integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
A diferença é:
Então, a área é .

Passo 6

Finalmente, multiplicamos a área pela constante 9 que encontramos anteriormente:
Portanto, o valor da integral fechada é 96.

Resposta

A integral fechada vale 96.

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, onde é a fronteira da região .
, onde é a elipse .
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