ointgamma(cos (x)-5 y) d x+(4 x-y^-1) d y, onde gamma é a fronteira da região limitada por y+x^2-9=0 e y-5=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral de linha. O enunciado pede para calcular a integral fechada ointgamma (cos(x) - 5y) , dx + (4x - y^-1) , dy, onde gamma é a fronteira da região limitada pelas curvas y + x^2 - 9 = 0 e y - 5 = 0. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha, o Teorema de Green e como determinar a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região gamma. Temos duas equações:
  1. y + x^2 - 9 = 0 que podemos reescrever como y = 9 - x^2.
  2. y - 5 = 0 que simplifica para y = 5.
Isso significa que a região limitada por essas duas curvas está entre a parábola y = 9 - x^2 e a linha reta y = 5. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
9 - x^2 = 5 x^2 = 4 x = pm 2
Então, a região gamma está entre x = -2 e x = 2.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos diz que uma integral de linha fechada pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região limitada pela curva. O Teorema de Green é dado por:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
No nosso caso, P(x, y) = cos(x) - 5y e Q(x, y) = 4x - y^-1. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (4x - y^-1) = 4 partial Ppartial y = partialpartial y (cos(x) - 5y) = -5
Substituindo no Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 4 - (-5) = 9
Então, a integral de linha se transforma em:
integral duplaD 9 , dx , dy

Passo 5

Agora, precisamos calcular a área da região D multiplicada por 9. A região D está entre y = 5 e y = 9 - x^2, de x = -2 a x = 2. A área é dada por:
Área = integral-2^2 (9 - x^2 - 5) , dx = integral-2^2 (4 - x^2) , dx Á
Vamos calcular essa integral:
integral-2^2 (4 - x^2) , dx = [4x - x^33]-2^2
Calculando nos limites:
Para x = 2:
4(2) - (2)^33 = 8 - 83 = 163
Para x = -2:
4(-2) - (-2)^33 = -8 - -83 = -8 + 83 = -163
A diferença é:
163 - (-163) = 323
Então, a área é 323.

Passo 6

Finalmente, multiplicamos a área pela constante 9 que encontramos anteriormente:
9 times 323 = 96
Portanto, o valor da integral fechada é 96.

Resposta

A integral fechada ointgamma (cos(x) - 5y) , dx + (4x - y^-1) , dy vale 96.

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