Determine a série de Fourier da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar a série de Fourier da função no intervalo de a . Aqui a gente vai usar o conteúdo de séries de Fourier, que serve pra representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Precisamos encontrar os coeficientes que vão multiplicar essas funções trigonométricas para construir a série.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é par ou ímpar. Isso é importante porque determina se a série de Fourier vai ter apenas cossenos (para funções pares), apenas senos (para funções ímpares) ou ambos.
Para testar a paridade:
  • Uma função é par se .
  • É ímpar se .
Vamos calcular:
Como , a função é ímpar. Isso significa que na série de Fourier teremos apenas termos de seno, pois os termos de cosseno desaparecem.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções ímpares. A série de Fourier para uma função ímpar pode ser escrita como:
Onde os coeficientes são dados por:
A gente vai calcular esses coeficientes para a nossa função.

Passo 4

Vamos substituir na fórmula dos coeficientes:
Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes múltiplas ou consultar uma tabela de integrais. O resultado é:
Segunda integral:
Usando integração por partes, temos:
Como e , simplifica para:

Passo 6

Substituindo e de volta na expressão de :
Simplificando:
Simplificando mais:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é dada por:

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