Determine a série de Fourier da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar a série de Fourier da função
no intervalo de
a
. Aqui a gente vai usar o conteúdo de séries de Fourier, que serve pra representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Precisamos encontrar os coeficientes que vão multiplicar essas funções trigonométricas para construir a série.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é par ou ímpar. Isso é importante porque determina se a série de Fourier vai ter apenas cossenos (para funções pares), apenas senos (para funções ímpares) ou ambos.
Para testar a paridade:
- Uma função é par se
. - É ímpar se
.
Vamos calcular:
Como
, a função é ímpar. Isso significa que na série de Fourier teremos apenas termos de seno, pois os termos de cosseno desaparecem.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções ímpares. A série de Fourier para uma função ímpar pode ser escrita como:
Onde os coeficientes
são dados por:
A gente vai calcular esses coeficientes
para a nossa função.
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula dos coeficientes:
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes múltiplas ou consultar uma tabela de integrais. O resultado é:
Segunda integral:
Usando integração por partes, temos:
Como
e
, simplifica para:
Passo 6
Substituindo
e
de volta na expressão de
:
Simplificando:
Simplificando mais:
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é dada por: