Determine a série de Fourier da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a série de Fourier da função , que é definida de forma diferente em três intervalos dentro de a . Isso está ligado ao conteúdo de séries de Fourier, que nos permite representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função periódica pode ser expressa como:
Onde:
  • é o termo constante.
  • são os coeficientes dos cossenos.
  • são os coeficientes dos senos.

Passo 3

Vamos calcular , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Como nossa função é definida em partes, precisamos dividir a integral conforme os intervalos:
Calculando:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes para . A fórmula é:
Dividindo a integral nos mesmos intervalos:
Simplificando:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou utilizando tabelas de integrais conhecidas.

Passo 5

Vamos calcular os coeficientes para . A fórmula é:
Dividindo a integral nos mesmos intervalos:
Simplificando:
Essas integrais também podem ser resolvidas por partes ou utilizando integrais conhecidas.

Passo 6

Depois de calcular , e , substituímos esses valores na expressão da série de Fourier:
Isso nos dará a representação completa da função em termos de sua série de Fourier.

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:
Onde os coeficientes e são calculados pelas integrais definidas nos passos anteriores.

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