Resolva as equações separáveis: , e com a condição inicial ;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial do tipo separável:
com a condição inicial . Para resolver essa equação, vamos utilizar o método de separação de variáveis, que nos permite separar os termos que envolvem dos que envolvem .
Passo 2
Primeiro, vamos isolar na equação. Para isso, subtraímos de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por para deixar sozinho:
Passo 3
Agora vamos separar as variáveis e . Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar a relação entre e :
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
onde é a constante de integração.
Agora, a integral do lado direito. Observando que o numerador é a derivada de , podemos simplificar usando uma substituição:
onde é outra constante de integração.
Passo 6
Igualando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar definindo , então:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 7
Agora, isolamos para obter a solução geral da equação diferencial:
Passo 8
Para encontrar o valor da constante , usamos a condição inicial . Substituímos e na equação:
Calculando o logaritmo:
Então:
Resposta
Substituindo na expressão para , a solução particular da equação diferencial é:
Observação: Essa solução é válida para valores de onde , ou seja, para ou , garantindo que o logaritmo esteja definido.