Resolva as equações separáveis: (x^2 - 1) * y' + 2 * x * y^2 = 0, e com a condição inicial y(0) = 1;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial do tipo separável:
com a condição inicial y(0) = 1. Para resolver essa equação, vamos utilizar o método de separação de variáveis, que nos permite separar os termos que envolvem y dos que envolvem x.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação. Para isso, subtraímos de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por para deixar sozinho:

Passo 3

Agora vamos separar as variáveis y e x. Isso significa colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro lado:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar a relação entre y e x:

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
onde é a constante de integração.
Agora, a integral do lado direito. Observando que o numerador é a derivada de , podemos simplificar usando uma substituição:
onde é outra constante de integração.

Passo 6

Igualando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar definindo , então:
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 7

Agora, isolamos y para obter a solução geral da equação diferencial:

Passo 8

Para encontrar o valor da constante C, usamos a condição inicial y(0) = 1. Substituímos x = 0 e na equação:
Calculando o logaritmo:
Então:

Resposta

Substituindo na expressão para y, a solução particular da equação diferencial é:
Observação: Essa solução é válida para valores de x onde , ou seja, para ou , garantindo que o logaritmo esteja definido.

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