Resolva as equações separáveis:
, e com a condição inicial
;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial do tipo separável:
com a condição inicial
. Para resolver essa equação, vamos utilizar o método de separação de variáveis, que nos permite separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação. Para isso, subtraímos
de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Passo 3
Agora vamos separar as variáveis
e
. Isso significa colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar a relação entre
e
:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
onde
é a constante de integração.
Agora, a integral do lado direito. Observando que o numerador
é a derivada de
, podemos simplificar usando uma substituição:
onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Igualando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar definindo
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, isolamos
para obter a solução geral da equação diferencial:
Passo 8
Para encontrar o valor da constante
, usamos a condição inicial
. Substituímos
e
na equação:
Calculando o logaritmo:
Então:
Resposta
Substituindo
na expressão para
, a solução particular da equação diferencial é:
Observação: Essa solução é válida para valores de
onde
, ou seja, para
ou
, garantindo que o logaritmo esteja definido.