Verifique que a série
é convergente. Tal convergência é uniforme para todo
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge, e também se essa convergência é uniforme para todo
. Vamos precisar entender sobre séries geométricas e os critérios de convergência e convergência uniforme. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da série que temos. A série
é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante. No caso, a razão
é
. As séries geométricas têm a forma geral:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do critério de convergência para séries geométricas. Uma série geométrica converge se, e somente se, o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja:
Se isso for verdade, a soma da série é:
Passo 4
Aplicando esse critério à nossa série, onde
, temos que a série convergirá se:
Resolvendo essa desigualdade:
Isso significa que a série
converge quando
está no intervalo
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o intervalo dado no problema:
. Observamos que nossa condição de convergência
é mais restritiva. Ou seja, a série não converge para todo
nesse intervalo, mas apenas para aqueles que satisfazem
.
Passo 6
Por fim, sobre a convergência uniforme, essa ocorre quando a convergência da série é uniforme em todo o intervalo considerado. No nosso caso, já que a série só converge para
e não para todo
, podemos concluir que a convergência não é uniforme nesse intervalo maior.
Resposta
A série
é convergente apenas para
e a convergência não é uniforme para todo
.
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Verifique se a série de funções
converge uniformemente para todo
.
Determine a série de Fourier da função
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