Verifique que a série é convergente. Tal convergência é uniforme para todo ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge, e também se essa convergência é uniforme para todo . Vamos precisar entender sobre séries geométricas e os critérios de convergência e convergência uniforme. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da série que temos. A série é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante. No caso, a razão é . As séries geométricas têm a forma geral:

Passo 3

Agora, vamos lembrar do critério de convergência para séries geométricas. Uma série geométrica converge se, e somente se, o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja:
Se isso for verdade, a soma da série é:

Passo 4

Aplicando esse critério à nossa série, onde , temos que a série convergirá se:
Resolvendo essa desigualdade:
Isso significa que a série converge quando está no intervalo .

Passo 5

Agora, vamos analisar o intervalo dado no problema: . Observamos que nossa condição de convergência é mais restritiva. Ou seja, a série não converge para todo nesse intervalo, mas apenas para aqueles que satisfazem .

Passo 6

Por fim, sobre a convergência uniforme, essa ocorre quando a convergência da série é uniforme em todo o intervalo considerado. No nosso caso, já que a série só converge para e não para todo , podemos concluir que a convergência não é uniforme nesse intervalo maior.

Resposta

A série é convergente apenas para e a convergência não é uniforme para todo .

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