Estude a função definida por
sumn=1^+infty(1-cos (xn))
quando a continuidade, derivabilidade termo a termo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida pela soma infinita . O que a gente precisa fazer é estudar essa função em termos de continuidade e ver se dá pra diferenciar termo a termo. Para isso, vamos precisar entender sobre séries de funções, convergência uniforme e critérios para diferenciar séries termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a convergência da série para garantir que a função está bem definida. A expressão geral da nossa série é 1 - cos(xn) approx x^22n^2 . Sabemos que quando é pequeno. Então, para grandes , temos:
Isso significa que os termos da série são aproximadamente . Sabemos que a série converge (é a famosa série de Basel, que soma ). Portanto, pela comparação, nossa série também converge para todo .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre continuidade. Como cada termo da série é uma função contínua em e a série converge uniformemente (porque os termos são dominados por , que é independente de ), podemos concluir que a soma da série também é contínua em .

Passo 4

Finalmente, vamos ver sobre a derivabilidade termo a termo. Para poder diferenciar a série termo a termo, precisamos que a série das derivadas também convirja uniformemente. Derivando cada termo em relação a ddx(1 - cos(xn)) = sin(xn)n , temos:
|sin(xn)n| <= |x|n^2
Agora, analisamos a série das derivadas: . Sabendo que , temos:
A série converge, então pela comparação, a série das derivadas converge uniformemente. Portanto, podemos diferenciar a série termo a termo.

Resposta

A função f'(x) = sumn=1^+infty sin(xn)n é contínua em todo e pode ser diferenciada termo a termo, resultando em:

Exercícios relacionados