quando a continuidade, derivabilidade termo a termo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida pela soma infinita . O que a gente precisa fazer é estudar essa função em termos de continuidade e ver se dá pra diferenciar termo a termo. Para isso, vamos precisar entender sobre séries de funções, convergência uniforme e critérios para diferenciar séries termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a convergência da série para garantir que a função está bem definida. A expressão geral da nossa série é . Sabemos que quando é pequeno. Então, para grandes , temos:
Isso significa que os termos da série são aproximadamente . Sabemos que a série converge (é a famosa série de Basel, que soma ). Portanto, pela comparação, nossa série também converge para todo .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre continuidade. Como cada termo da série é uma função contínua em e a série converge uniformemente (porque os termos são dominados por , que é independente de ), podemos concluir que a soma da série também é contínua em .
Passo 4
Finalmente, vamos ver sobre a derivabilidade termo a termo. Para poder diferenciar a série termo a termo, precisamos que a série das derivadas também convirja uniformemente. Derivando cada termo em relação a , temos:
Agora, analisamos a série das derivadas: . Sabendo que , temos:
A série converge, então pela comparação, a série das derivadas converge uniformemente. Portanto, podemos diferenciar a série termo a termo.
Resposta
A função é contínua em todo e pode ser diferenciada termo a termo, resultando em: