Determine a série de Fourier da função
-periódica
tal que
para
. Use-a para calcular o valor da série
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a série de Fourier de uma função específica que se repete a cada
, ou seja, é
-periódica. A função dada é
no intervalo
. Depois de encontrar essa série, vamos usá-la para calcular a soma
. Para isso, vamos precisar entender como construir uma série de Fourier e como ela pode nos ajudar a calcular séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier representa uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. No caso da nossa função
, que é ímpar em relação ao ponto
, só teremos termos de seno na série, já que os cossenos correspondem às funções pares.
A fórmula geral para a série de Fourier de uma função ímpar
é:
Onde os coeficientes
são dados por:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes
. Para isso, precisamos resolver a integral:
Vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliamos de
a
:
Sabemos que
e
, então:
Mas como nossa função é ímpar, devemos considerar o sinal. Portanto, os coeficientes são:
Passo 4
Agora que temos os coeficientes
, podemos escrever a série de Fourier da função
:
Essa é a série que representa a função no intervalo dado e se repete a cada
.
Passo 5
Para calcular a soma
, vamos usar nossa série de Fourier. Vamos avaliar a série em um ponto específico para relacioná-la com a soma desejada.
Vamos escolher
:
Sabemos que
alterna entre
,
,
e
dependendo do valor de
. Isso simplifica a série para apenas termos ímpares. Portanto:
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando
.
.
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
b)
b)
Use séries de Taylor para mostrar que valem as igualdades:
.
Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando
.