Determine a série de Fourier da função 2 pi-periódica f: R R tal que f(t)=t para 0 <= t<2 pi. Use-a para calcular o valor da série sumn=0^infty (-1)^n2 n+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a série de Fourier de uma função específica que se repete a cada , ou seja, é -periódica. A função dada é no intervalo . Depois de encontrar essa série, vamos usá-la para calcular a soma . Para isso, vamos precisar entender como construir uma série de Fourier e como ela pode nos ajudar a calcular séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier representa uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. No caso da nossa função f(t) = sumn=1^infty bn sin(n t) , que é ímpar em relação ao ponto bn = 22pi integral0^2pi f(t) sin(n t) , dt = 1pi integral0^2pi t sin(n t) , dt , só teremos termos de seno na série, já que os cossenos correspondem às funções pares.
A fórmula geral para a série de Fourier de uma função ímpar é:
Onde os coeficientes são dados por:

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes bn = 1pi integral0^2pi t sin(n t) , dt . Para isso, precisamos resolver a integral:
integral t sin(n t) , dt = -tn cos(n t) + 1n integral cos(n t) , dt = -tn cos(n t) + 1n^2 sin(n t)
Vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
  • bn = 1pi [ ( -2pin cos(2pi n) + 1n^2 sin(2pi n) ) - ( 0 + 0 ) ] bn = 1pi ( -2pin cdot 1 + 0 ) = -2n bn = 2(-1)^n+1n
Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliamos de a :
Sabemos que e , então:
Mas como nossa função é ímpar, devemos considerar o sinal. Portanto, os coeficientes são:

Passo 4

Agora que temos os coeficientes f(t) = sumn=1^infty 2(-1)^n+1n sin(n t) , podemos escrever a série de Fourier da função :
Essa é a série que representa a função no intervalo dado e se repete a cada .

Passo 5

Para calcular a soma f(pi2) = pi2 = sumn=1^infty 2(-1)^n+1n sin(n cdot pi2) , vamos usar nossa série de Fourier. Vamos avaliar a série em um ponto específico para relacioná-la com a soma desejada.
Vamos escolher pi2 = sumk=0^infty 2(-1)^(2k+1)+12k+1 sin((2k+1) cdot pi2) = 2 sumk=0^infty (-1)^k2k+1 :
Sabemos que alterna entre , , e dependendo do valor de . Isso simplifica a série para apenas termos ímpares. Portanto:

Resposta

Portanto,
sumn=0^infty (-1)^n2n+1 = pi4

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