Determine a série de Fourier da função -periódica tal que para . Use-a para calcular o valor da série .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a série de Fourier de uma função específica que se repete a cada , ou seja, é -periódica. A função dada é no intervalo . Depois de encontrar essa série, vamos usá-la para calcular a soma . Para isso, vamos precisar entender como construir uma série de Fourier e como ela pode nos ajudar a calcular séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier representa uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. No caso da nossa função , que é ímpar em relação ao ponto , só teremos termos de seno na série, já que os cossenos correspondem às funções pares.
A fórmula geral para a série de Fourier de uma função ímpar é:
Onde os coeficientes são dados por:

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes . Para isso, precisamos resolver a integral:
Vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliamos de a :
Sabemos que e , então:
Mas como nossa função é ímpar, devemos considerar o sinal. Portanto, os coeficientes são:

Passo 4

Agora que temos os coeficientes , podemos escrever a série de Fourier da função :
Essa é a série que representa a função no intervalo dado e se repete a cada .

Passo 5

Para calcular a soma , vamos usar nossa série de Fourier. Vamos avaliar a série em um ponto específico para relacioná-la com a soma desejada.
Vamos escolher :
Sabemos que alterna entre , , e dependendo do valor de . Isso simplifica a série para apenas termos ímpares. Portanto:

Resposta

Portanto,

Exercícios relacionados

Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando . .
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
b)
Use séries de Taylor para mostrar que valem as igualdades: .
Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando .