Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por uma integral:
A tarefa é representar essa função como uma série de potências e descobrir o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar de conceitos de séries de potências e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a representação em série. Observamos que:
Podemos fazer uma substituição para tornar a fração mais amigável para expansão em série. Vamos usar a substituição , mas na verdade, uma abordagem mais eficiente é reconhecer que podemos expandir como uma série geométrica.
Passo 3
Rearranjando a fração:
Sabemos que a série geométrica é:
Aqui, , então:
Passo 4
Agora, substituímos essa série na integral original:
Podemos trocar a soma e a integral porque a série converge uniformemente no intervalo considerado. Cada termo da série agora é uma integral que podemos resolver por partes.
Passo 5
Vamos resolver a integral geral:
Usando integração por partes, onde:
e
Então, derivando e integrando:
e
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Passo 6
Voltando à série original, substituímos o resultado da integral:
Podemos reescrever isso como:
Passo 7
Para encontrar o raio de convergência, analisamos a série geométrica original que usamos para expandir :
Essa série converge quando:
Portanto, o raio de convergência é e o intervalo de convergência é .
Resposta
A função f(x) = -ln x sumn=0^infty 1n x^n - sumn=0^infty 1n^2 x^n + C pode ser representada como a série de potências:
Esta série converge para , ou seja, o raio de convergência é e o intervalo de convergência é pertencente a .