Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
b) f(x)=integral ln xx-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por uma integral:
f(x) = integral ln xx - 1 , dx
A tarefa é representar essa função como uma série de potências e descobrir o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar de conceitos de séries de potências e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a representação em série. Observamos que:
ln xx - 1
Podemos fazer uma substituição para tornar a fração mais amigável para expansão em série. Vamos usar a substituição , mas na verdade, uma abordagem mais eficiente é reconhecer que podemos expandir como uma série geométrica.

Passo 3

Rearranjando a fração:
1x - 1 = 1(x) - 1 = 1x(1 - 1x) = 1x cdot 11 - 1x
Sabemos que a série geométrica é:
11 - r = sumn=0^infty r^n para |r| < 1
Aqui, 1x - 1 = 1x sumn=0^infty (1x)^n = sumn=0^infty 1x^n+1 , então:

Passo 4

Agora, substituímos essa série na integral original:
f(x) = integral ln x cdot sumn=0^infty 1x^n+1 , dx = sumn=0^infty integral ln xx^n+1 , dx
Podemos trocar a soma e a integral porque a série converge uniformemente no intervalo considerado. Cada termo da série agora é uma integral que podemos resolver por partes.

Passo 5

Vamos resolver a integral geral:
integral ln xx^n+1 , dx
Usando integração por partes, onde:
integral ln xx^n+1 , dx = ln x cdot x^-n-n - integral x^-n-n cdot 1x dx e = -ln xn x^n + 1n integral x^-(n+1) dx
Então, derivando e integrando:
= -ln xn x^n + 1n cdot x^-n-n + C e = -ln xn x^n - 1n^2 x^n + C
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 6

Voltando à série original, substituímos o resultado da integral:
f(x) = sumn=0^infty ( -ln xn x^n - 1n^2 x^n ) + C
Podemos reescrever isso como:
f(x) = -ln x sumn=0^infty 1n x^n - sumn=0^infty 1n^2 x^n + C

Passo 7

Para encontrar o raio de convergência, analisamos a série geométrica original que usamos para expandir sumn=0^infty 1x^n+1 :
| 1x | < 1 implies |x| > 1
Essa série converge quando:
Portanto, o raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Resposta

A função f(x) = -ln x sumn=0^infty 1n x^n - sumn=0^infty 1n^2 x^n + C pode ser representada como a série de potências:
Esta série converge para , ou seja, o raio de convergência é e o intervalo de convergência é pertencente a .

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