Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a série de potências
diverge quando
. Vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de divergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na série. Assim, temos:
Então, a série fica:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão. Note que
. Portanto, a série se torna:
Passo 4
Agora, para determinar se essa série converge ou diverge, podemos usar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série não for zero, então a série diverge.
Vamos calcular o limite do termo geral quando
tende ao infinito:
Primeiro, simplificamos
:
Então, o limite fica:
Passo 5
Como o limite dos termos da série tende ao infinito, que não é igual a zero, pelo Teste da Divergência, a série não pode convergir.
Resposta
Portanto, a série
diverge quando
.
Exercícios relacionados
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
b)
b)
Use séries de Taylor para mostrar que valem as igualdades:
.
Determine a série de Fourier da função
-periódica
tal que
para
. Use-a para calcular o valor da série
.
Use séries de Taylor para mostrar que valem as igualdades:
.