Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando x=-2. sumk=0^infty (-1)^k k3 k+1(2 x-3)^k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a série de potências diverge quando . Vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de divergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 2x - 3 = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7 na série. Assim, temos:
sumk=0^infty (-1)^k k3k+1(-7)^k
Então, a série fica:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão. Note que sumk=0^infty k3k+1 cdot 7^k . Portanto, a série se torna:

Passo 4

Agora, para determinar se essa série converge ou diverge, podemos usar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série não for zero, então a série diverge.
Vamos calcular o limite do termo geral quando limk to infty k3k+1 cdot 7^k tende ao infinito:
k3k+1 = 13 + 1k to 13 quando k to infty
Primeiro, simplificamos limk to infty 13 cdot 7^k = infty :
Então, o limite fica:

Passo 5

Como o limite dos termos da série tende ao infinito, que não é igual a zero, pelo Teste da Divergência, a série não pode convergir.

Resposta

Portanto, a série diverge quando .

Exercícios relacionados