Mostre que as séries de potências abaixo divergem quando . .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a série de potências diverge quando . Vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de divergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na série. Assim, temos:
Então, a série fica:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão. Note que . Portanto, a série se torna:

Passo 4

Agora, para determinar se essa série converge ou diverge, podemos usar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série não for zero, então a série diverge.
Vamos calcular o limite do termo geral quando tende ao infinito:
Primeiro, simplificamos :
Então, o limite fica:

Passo 5

Como o limite dos termos da série tende ao infinito, que não é igual a zero, pelo Teste da Divergência, a série não pode convergir.

Resposta

Portanto, a série diverge quando .

Exercícios relacionados

Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
b)
Use séries de Taylor para mostrar que valem as igualdades: .
Determine a série de Fourier da função -periódica tal que para . Use-a para calcular o valor da série .
Use séries de Taylor para mostrar que valem as igualdades: .