Passo 1
Então, temos um exercício que pede para calcular uma integral tripla:
Esse tipo de integral envolve cálculo multivariável, mais especificamente integrais em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar mudar para coordenadas cilíndricas, que simplificam a expressão e facilitam a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral representa. Estamos integrando a função
sobre uma região tridimensional delimitada por
de
a
,
de
a
, e
de
a
. Essa região é um cilindro de raio
com uma base circular, e entre os planos
(um cone) e
.
Passo 3
Para facilitar, vamos converter essa integral para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é
. Além disso,
.
Passo 4
Substituindo a função e os limites na integral original, temos:
Aqui, simplificamos
para
.
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 6
Substituindo de volta na integral, ficamos com:
Passo 7
Integramos agora em relação a
:
Passo 8
Por último, integramos em relação a
:
Resposta
A integral tripla vale
.
Exercícios relacionados
Determine a série de Fourier de
no intervalo dado:
Resolva as equações de Cauchy-Euler a seguir:
Uma expressão integral para a área da região situada entre as curvas
e
e limitada lateralmente por
e
é
.
A área da região englobada pelas curvas
e
é
.