integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integralraizx^2+y^2^3 e^zraizx^2+y^2 d z d y d x

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para calcular uma integral tripla:
integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integralraizx^2+y^2^3 e^zraizx^2+y^2 , dz , dy , dx
Esse tipo de integral envolve cálculo multivariável, mais especificamente integrais em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar mudar para coordenadas cilíndricas, que simplificam a expressão e facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral representa. Estamos integrando a função e^zraizx^2+y^2 sobre uma região tridimensional delimitada por x de -3 a 3, y de -raiz9-x^2 a raiz9-x^2, e z de raizx^2+y^2 a 3. Essa região é um cilindro de raio 3 com uma base circular, e entre os planos z = raizx^2+y^2 (um cone) e z = 3.

Passo 3

Para facilitar, vamos converter essa integral para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta y = r sin theta z = z
O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r , dz , dr , dtheta. Além disso, raizx^2+y^2 = r.

Passo 4

Substituindo a função e os limites na integral original, temos:
integral0^2pi integral0^3 integralr^3 e^zr cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, simplificamos e^zr cdot r para e^z.

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a z primeiro:
integralr^3 e^z , dz = e^3 - e^r

Passo 6

Substituindo de volta na integral, ficamos com:
integral0^2pi integral0^3 ( e^3 - e^r ) , dr , dtheta

Passo 7

Integramos agora em relação a r:
integral0^3 ( e^3 - e^r ) , dr = e^3 cdot 3 - (e^3 - 1) = 2e^3 + 1

Passo 8

Por último, integramos em relação a theta:
integral0^2pi ( 2e^3 + 1 ) , dtheta = ( 2e^3 + 1 ) cdot 2pi = 4pi e^3 + 2pi

Resposta

A integral tripla vale 4pi e^3 + 2pi.

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