Determine a soma da série.
Passo 1
Então, a gente precisa encontrar a soma da série infinita:
Aqui, vamos trabalhar com séries geométricas, que são sequências onde cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Para resolver isso, vamos separar a série em duas partes e usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a série em duas séries menores:
- A primeira série é:
- A segunda série é:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Onde:
-
é a soma da série. -
é o primeiro termo da série. -
é a razão comum entre os termos (ou seja, quanto cada termo é multiplicado para chegar no próximo).
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula para a primeira série:
- Primeiro termo
- Razão
Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula para a segunda série:
- Primeiro termo
- Razão
Então:
Resposta
Somando as duas séries, temos:
Portanto, a soma da série é
.
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