Determine a soma da série.

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar a soma da série infinita:
Aqui, vamos trabalhar com séries geométricas, que são sequências onde cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Para resolver isso, vamos separar a série em duas partes e usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a série em duas séries menores:
  1. A primeira série é:
  2. A segunda série é:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Onde:
  • é a soma da série.
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão comum entre os termos (ou seja, quanto cada termo é multiplicado para chegar no próximo).

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula para a primeira série:
  • Primeiro termo
  • Razão
Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula para a segunda série:
  • Primeiro termo
  • Razão
Então:

Resposta

Somando as duas séries, temos:
Portanto, a soma da série é .

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