Determine se a série geométrica a seguir é convergente, se sim, calcule a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série geométrica
converge. Se sim, a gente também tem que calcular a soma dessa série. A matéria envolvida aqui é séries geométricas, que são somas infinitas onde cada termo é um múltiplo fixo do anterior.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. Ela tem a forma geral
, onde:
- a é o primeiro termo da série.
- r é a razão, ou seja, o número pelo qual multiplicamos cada termo para chegar no próximo.
Pra essa série convergir, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1, ou seja,
. Se isso acontecer, a soma da série é dada por
.
Passo 3
Vamos identificar os valores de a e r na nossa série:
- A série dada é
. - Comparando com a forma geral, vemos que
. - A razão é
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a série converge usando a condição
:
- Aqui,
, e , que é menor que 1. - Então, a série converge.
Passo 5
Como a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula
:
- Substituindo os valores, temos
.
Resposta
A série geométrica
é convergente e a sua soma é igual a 10.
Exercícios relacionados
Prove que se todos os pontos do conjunto
são isolados então pode-se escolher, para cada
, um intervalo aberto
, de centro
, tal que
.
1
Prove que, para todo , tem-se
. Conclua que se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.
Prove que, para todo
Encontre a série de Taylor de
centrada em
:
com centro em
Encontre o raio e o intervalo de convergência e o intervalo de convergência da série: