Determine se a série geométrica a seguir é convergente, se sim, calcule a sua soma.
sumn=1^infty(0,9)^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série geométrica sumn=1^infty(0,9)^n-1 converge. Se sim, a gente também tem que calcular a soma dessa série. A matéria envolvida aqui é séries geométricas, que são somas infinitas onde cada termo é um múltiplo fixo do anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. Ela tem a forma geral sumn=1^infty ar^n-1, onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão, ou seja, o número pelo qual multiplicamos cada termo para chegar no próximo.
Pra essa série convergir, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1, ou seja, |r| < 1. Se isso acontecer, a soma da série é dada por S = a1 - r.

Passo 3

Vamos identificar os valores de a e r na nossa série:
  • A série dada é sumn=1^infty(0,9)^n-1.
  • Comparando com a forma geral, vemos que a = (0,9)^0 = 1.
  • A razão é r = 0,9.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a série converge usando a condição |r| < 1:
  • Aqui, r = 0,9, e |0,9| = 0,9, que é menor que 1.
  • Então, a série converge.

Passo 5

Como a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula S = a1 - r:
  • Substituindo os valores, temos S = 11 - 0,9 = 10,1 = 10.

Resposta

A série geométrica sumn=1^infty(0,9)^n-1 é convergente e a sua soma é igual a 10.

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