Encontre o raio e o intervalo de convergência e o intervalo de convergência da série:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Aqui, estamos lidando com uma série de potências, que é uma soma infinita onde cada termo depende de , sendo o centro da série. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar se a série converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que para a série , se:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral an = (x-2)^nn^n da nossa série:
an+1 = (x-2)^n+1(n+1)^n+1
Agora, vamos calcular :
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (x-2)^n+1/(n+1)^n+1(x-2)^n/n^n |
Simplificando:
L = limn to infty | (x-2) cdot n^n(n+1)^n+1 |
Passo 5
Vamos simplificar mais:
Isso fica:
L = | x - 2 | cdot limn to infty n^n(n+1)^n+1 = | x - 2 | cdot limn to infty n^n(n+1)^n cdot (n+1)
Passo 6
Sabemos que:
limn to infty ( nn+1 )^n = limn to infty ( 1 - 1n+1 )^n = 1e
E também:
limn to infty 1n+1 = 0
Portanto:
L = | x - 2 | cdot 1e cdot 0 = 0
Passo 7
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.
Passo 8
Com um raio de convergência infinito, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais. Ou seja:
(-infty, infty)
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .