Encontre a série de Taylor de f(x) centrada em x_0 :
f(x) = (1 - x)^(-2) com centro em x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função centrada em . A série de Taylor é uma forma de expressar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais, o que ajuda a entender e aproximar funções mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor básica para . Sabemos que:
Essa é uma série geométrica que converge para .

Passo 3

Agora, queremos a série para . Para conseguir isso, vamos derivar a série que temos para . A derivada de em relação a é:

Passo 4

Vamos derivar cada termo da série original:
Portanto, a série de Taylor para é:

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:

Exercícios relacionados

Determine se a série geométrica a seguir é convergente, se sim, calcule a sua soma.
sumn=1^infty(0,9)^n-1
Prove que se todos os pontos do conjunto X ⊆ R são isolados então pode-se escolher, para cada x em X, um intervalo aberto Ix, de centro x, tal que x ≠ y => I3 ⊔ y = ∅.
Encontre o raio e o intervalo de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty (x-2)^nn^n
Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em x0=0 :
y=sumn=0^infty an x^n
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.
y^prime prime-x^2 y^prime+x y=0