Encontre a série de Taylor de
centrada em
:
com centro em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função
centrada em
. A série de Taylor é uma forma de expressar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais, o que ajuda a entender e aproximar funções mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor básica para
. Sabemos que:
Essa é uma série geométrica que converge para
.
Passo 3
Agora, queremos a série para
. Para conseguir isso, vamos derivar a série que temos para
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos derivar cada termo da série original:
Portanto, a série de Taylor para
é:
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
Exercícios relacionados
Determine se a série geométrica a seguir é convergente, se sim, calcule a sua soma.
Prove que se todos os pontos do conjunto
são isolados então pode-se escolher, para cada
, um intervalo aberto
, de centro
, tal que
.
Encontre o raio e o intervalo de convergência e o intervalo de convergência da série:
Resolva as equações diferenciais a seguir usando série de potência com centro em
:
Ou seja, monte o processo indicando a fórmula de recorrência seguida pela solução em série de potência.