Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a série de Laurent da função
no domínio onde
. Basicamente, vamos precisar entender como expandir essa função em série de Laurent ao redor do ponto
. Para isso, vamos usar algumas propriedades das séries de potências e das expansões de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir
, o que significa que
. Assim, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos expandir a parte
em uma série de potências de
. Sabemos que a expansão em série de Taylor para
é:
Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Agora, colocamos tudo junto na expressão de
:
Substituindo
de volta, temos a série de Laurent para
:
Resposta
A série de Laurent para
no domínio
é:
Exercícios relacionados
Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas:
Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas:
Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas:
Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas: