Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas: f(z) = e^(-z) / (z - 2)², 0 < |z - 2|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a série de Laurent da função no domínio onde . Basicamente, vamos precisar entender como expandir essa função em série de Laurent ao redor do ponto . Para isso, vamos usar algumas propriedades das séries de potências e das expansões de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir , o que significa que . Assim, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos expandir a parte em uma série de potências de . Sabemos que a expansão em série de Taylor para é:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Agora, colocamos tudo junto na expressão de :
Substituindo de volta, temos a série de Laurent para :

Resposta

A série de Laurent para no domínio é:

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