Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas: f(z) = z / ((z - i)(z - 2i)), 1 < |z - i|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Laurent para a função na região onde . Isso envolve entender o que é uma série de Laurent, que é tipo uma expansão em série que funciona bem em regiões específicas do plano complexo, especialmente quando temos singularidades (pontos onde a função não está bem definida).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando frações parciais. Isso vai nos ajudar a separar a função em partes mais fáceis de expandir. A função é:
Podemos escrever como a soma de duas frações parciais:

Passo 3

Para encontrar os valores de e , vamos multiplicar ambos os lados por :
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação:
  1. Se :
  1. Se :
Então, e .

Passo 4

Agora, substituímos e de volta na expressão de frações parciais:
Queremos a série de Laurent na região . Vamos focar na segunda fração, , e reescrevê-la para facilitar a expansão.

Passo 5

Note que:
Aqui, usamos a técnica de expansão geométrica, onde para .

Passo 6

Aplicando a expansão geométrica:
Essa série converge quando , ou seja, quando , que é exatamente a região que estamos considerando.

Passo 7

Juntando tudo, a série de Laurent para na região é:
Podemos reescrever isso agrupando os termos:
onde é o delta de Kronecker, que apenas ajusta o termo .

Resposta

A série de Laurent para na região é:

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Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas: f(z) = z / ((z - i)(z - 2i)), 0 < |z - i| < 1
Se a função incógnita é igual a y(t) = sen(t)/2 + c e y(3 pi/2) = 1, então c = 3/2.
( ) Verdadeiro
( ) Falso
Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas: f(z) = e^(-z) / (z - 2)², 0 < |z - 2|
Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas: f(z) = (2 + 3z) / (z^2 + z^3), 0 < |z| < 1