Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Laurent para a função na região onde . Isso envolve entender o que é uma série de Laurent, que é tipo uma expansão em série que funciona bem em regiões específicas do plano complexo, especialmente quando temos singularidades (pontos onde a função não está bem definida).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função usando frações parciais. Isso vai nos ajudar a separar a função em partes mais fáceis de expandir. A função é:
Podemos escrever como a soma de duas frações parciais:
Passo 3
Para encontrar os valores de e , vamos multiplicar ambos os lados por :
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação:
Se :
Se :
Então, e .
Passo 4
Agora, substituímos e de volta na expressão de frações parciais:
Queremos a série de Laurent na região . Vamos focar na segunda fração, , e reescrevê-la para facilitar a expansão.
Passo 5
Note que:
Aqui, usamos a técnica de expansão geométrica, onde para .
Passo 6
Aplicando a expansão geométrica:
Essa série converge quando , ou seja, quando , que é exatamente a região que estamos considerando.
Passo 7
Juntando tudo, a série de Laurent para na região é:
Podemos reescrever isso agrupando os termos:
onde é o delta de Kronecker, que apenas ajusta o termo .