Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas: f(z) = 1/(4z - z^2), 0 < |z| < 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Laurent da função no intervalo . Isso envolve trabalhar com séries de potências complexas, especificamente a série de Laurent, que é útil para representar funções em regiões que incluem singularidades.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar a expansão. Podemos fatorar o denominador:
Isso ajuda a separar os termos e a identificar como proceder com a série.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função de uma forma que possamos aplicar a série geométrica. Dividimos o denominador:
Aqui, reconhecemos que a segunda fração se parece com a soma de uma série geométrica, que é uma forma padrão para expandir funções em séries de potências.

Passo 4

Lembrando que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então a condição de convergência é , ou seja, , que é precisamente a região que estamos considerando.

Passo 5

Aplicando a série geométrica na nossa função:
Substituindo de volta na expressão da função:

Passo 6

Simplificando a expressão para obter a série de Laurent:
Isso significa que a série terá termos com potências de que começam de .

Resposta

A série de Laurent para no intervalo é:
Ou de forma geral:

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