Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas: f(z) = z / ((z - i)(z - 2i)), 0 < |z - i| < 1

Passo 1

Beleza, vamos nessa! O que a questão pede é para a gente encontrar a série de Laurent da função no intervalo onde . Isso quer dizer que estamos interessados em expandir a função em torno do ponto , considerando valores de que estão a uma distância maior que zero e menor que 1 desse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de frações parciais e séries de Laurent, que nos permitem representar funções complexas de forma mais simples em determinadas regiões.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a função em frações parciais. Isso facilita a expansão da função em séries. Vamos escrever:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para achar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Agora, vamos escolher valores estratégicos para para simplificar a resolução.

Passo 4

Primeiro, vamos definir para eliminar o termo com :
Assim, isolando :

Passo 5

Agora, vamos definir para eliminar o termo com :
Isolando :

Passo 6

Com os valores de e encontrados, podemos reescrever a função original:

Passo 7

Agora, precisamos expandir cada termo em séries de Laurent na região . Vamos começar com , que já está na forma desejada.

Passo 8

Para o segundo termo, , vamos manipular para facilitar a expansão:
Aqui, usamos a ideia de fatoração para preparar a expressão para uma série geométrica.

Passo 9

Usando a expansão da série geométrica válida para , identificamos . Assim, a série fica:

Passo 10

Agora, juntando os dois termos, a série de Laurent para na região indicada é:

Resposta

A série de Laurent para na região é:

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Se a função incógnita é igual a y(t) = sen(t)/2 + c e y(3 pi/2) = 1, então c = 3/2.
( ) Verdadeiro
( ) Falso
A função y(t) = t + c é solução geral da EDO dot(y)(t) - 1 = 0 e este é um exemplo de uma EDO Linear Não Homogênea.
( ) Verdadeiro
( ) Falso
Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas: f(z) = z / ((z - i)(z - 2i)), 1 < |z - i|
Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas: f(z) = e^(-z) / (z - 2)², 0 < |z - 2|