Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos nessa! O que a questão pede é para a gente encontrar a série de Laurent da função
no intervalo onde
. Isso quer dizer que estamos interessados em expandir a função em torno do ponto
, considerando valores de
que estão a uma distância maior que zero e menor que 1 desse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de frações parciais e séries de Laurent, que nos permitem representar funções complexas de forma mais simples em determinadas regiões.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr a função
em frações parciais. Isso facilita a expansão da função em séries. Vamos escrever:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para achar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Agora, vamos escolher valores estratégicos para
para simplificar a resolução.
Passo 4
Primeiro, vamos definir
para eliminar o termo com
:
Assim, isolando
:
Passo 5
Agora, vamos definir
para eliminar o termo com
:
Isolando
:
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, podemos reescrever a função original:
Passo 7
Agora, precisamos expandir cada termo em séries de Laurent na região
. Vamos começar com
, que já está na forma desejada.
Passo 8
Para o segundo termo,
, vamos manipular para facilitar a expansão:
Aqui, usamos a ideia de fatoração para preparar a expressão para uma série geométrica.
Passo 9
Usando a expansão da série geométrica
válida para
, identificamos
. Assim, a série fica:
Passo 10
Agora, juntando os dois termos, a série de Laurent para
na região indicada é:
Resposta
A série de Laurent para
na região
é:
Exercícios relacionados
Se a função incógnita é igual a
e
, então
.
( ) Verdadeiro
( ) Falso
( ) Verdadeiro
( ) Falso
A função
é solução geral da EDO
e este é um exemplo de uma EDO Linear Não Homogênea.
( ) Verdadeiro
( ) Falso
( ) Verdadeiro
( ) Falso
Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas:
Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas: