Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas: f(z) = (2 + 3z) / (z^2 + z^3), 0 < |z| < 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Laurent da função no intervalo onde . Isso está relacionado com a matéria de Análise Complexa, especificamente com séries de Laurent. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão da função e expandi-la em uma série que seja válida nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a expansão. Temos:
Podemos fatorar o denominador:

Passo 3

Agora, vamos separar a fração:
Isso pode ser escrito como:

Passo 4

Sabemos que para , podemos expandir como uma série geométrica:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar essa série pela expressão :

Passo 6

Distribuindo a multiplicação, temos duas séries:

Resposta

A série de Laurent para a função no intervalo é:

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