Determine a série de Laurent para cada uma das funções, nas situações indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Laurent da função
no intervalo onde
. Isso está relacionado com a matéria de Análise Complexa, especificamente com séries de Laurent. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão da função e expandi-la em uma série que seja válida nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a expansão. Temos:
Podemos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora, vamos separar a fração:
Isso pode ser escrito como:
Passo 4
Sabemos que para
, podemos expandir
como uma série geométrica:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar essa série pela expressão
:
Passo 6
Distribuindo a multiplicação, temos duas séries:
Resposta
A série de Laurent para a função
no intervalo
é:
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Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada: