Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada: ointC 1z^3(1-z) d z, |z|=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral complexa ointC 1z^3(1-z) , dz onde C é o círculo de raio 2 no plano complexo, ou seja, |z| = 2. Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa em cálculo complexo para resolver integrais envolvendo funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (ou seja, onde ela não é analítica) dentro do contorno C e então calcular os resíduos nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as singularidades da função 1z^3(1-z). As singularidades ocorrem onde o denominador é zero:
  1. z^3 = 0 Rightarrow z = 0
  2. 1 - z = 0 Rightarrow z = 1
Então, temos duas singularidades: z = 0 e z = 1.

Passo 3

Agora, vamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do contorno C, que é |z| = 2.
  • Para z = 0: |0| = 0 < 2 → está dentro de C.
  • Para z = 1: |1| = 1 < 2 → também está dentro de C.
Portanto, ambas as singularidades estão dentro do contorno.

Passo 4

Vamos calcular os resíduos dessas singularidades.
Residuo em z = 0:
A função tem um polo de ordem 3 em z = 0. Para calcular o resíduo em um polo de ordem n, usamos:
Res(f, 0) = 1(n-1)! limz to 0 d^n-1dz^n-1 [ (z - 0)^n f(z) ]
No nosso caso, n = 3:
Res(1z^3(1-z), 0) = 12! limz to 0 d^2dz^2 [ z^3 cdot 1z^3(1-z) ] = 12 limz to 0 d^2dz^2 [ 11 - z ]
Primeira derivada:
ddz [ 11 - z ] = 1(1 - z)^2
Segunda derivada:
d^2dz^2 [ 11 - z ] = 2(1 - z)^3
Agora, avaliando em z = 0:
Res(1z^3(1-z), 0) = 12 cdot 2(1 - 0)^3 = 12 cdot 2 = 1
Residuo em z = 1 :
Em z = 1, a função tem um polo simples (de ordem 1). O resíduo de um polo simples é dado por:
Res(f, 1) = limz to 1 (z - 1) f(z) = limz to 1 z - 1z^3(1 - z) = limz to 1 -1z^3 = -11^3 = -1

Passo 5

Agora que temos os resíduos dentro do contorno C, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro de C:
ointC 1z^3(1-z) , dz = 2pi i ( Res(1z^3(1-z), 0) + Res(1z^3(1-z), 1) ) = 2pi i (1 + (-1)) = 2pi i cdot 0 = 0

Resposta

A integral ointC 1z^3(1-z) , dz é igual a 0.

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