Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral complexa
onde
é o círculo de raio 2 no plano complexo, ou seja,
. Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa em cálculo complexo para resolver integrais envolvendo funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (ou seja, onde ela não é analítica) dentro do contorno
e então calcular os resíduos nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as singularidades da função
. As singularidades ocorrem onde o denominador é zero:
Então, temos duas singularidades:
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do contorno
, que é
.
- Para
: → está dentro de . - Para
: → também está dentro de .
Portanto, ambas as singularidades estão dentro do contorno.
Passo 4
Vamos calcular os resíduos dessas singularidades.
Residuo em
:
A função tem um polo de ordem 3 em
. Para calcular o resíduo em um polo de ordem
, usamos:
No nosso caso,
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, avaliando em
:
Residuo em
:
Em
, a função tem um polo simples (de ordem 1). O resíduo de um polo simples é dado por:
Passo 5
Agora que temos os resíduos dentro do contorno
, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro de
:
Resposta
A integral
é igual a 0.
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, onde C é qualquer curva simples, fechada tendo
2 como ponto interior