Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de contorno:
Isso envolve o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta da Análise Complexa usada para calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados. Para resolver, vamos precisar identificar os pólos da função dentro do contorno
e calcular seus resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
tem singularidades, ou seja, pontos onde ela não está definida.
O denominador é
, que se anula quando
. Resolvendo isso:
Então, temos dois pólos simples em
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro do contorno
, que é o círculo de raio 2 centrado na origem (
).
Calculando a magnitude dos pólos:
Como 1 é menor que 2, ambos os pólos
e
estão dentro do contorno
.
Passo 4
Hora de calcular os resíduos em cada pólo. Para um pôlo simples em
, o resíduo é dado por:
Vamos começar com
:
Simplificando o denominador
:
Passo 5
Agora, calculamos o resíduo em
:
Novamente, simplificando:
Passo 6
Somamos os resíduos encontrados:
Passo 7
Aplicando o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno:
Resposta
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