Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada: ointC z e^zz^2-1 d z, |z|=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de contorno:
ointC z e^zz^2-1 , dz, |z|=2
Isso envolve o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta da Análise Complexa usada para calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados. Para resolver, vamos precisar identificar os pólos da função dentro do contorno e calcular seus resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função z^2 = 1 implies z = 1 ou z = -1 tem singularidades, ou seja, pontos onde ela não está definida.
O denominador é , que se anula quando . Resolvendo isso:
Então, temos dois pólos simples em e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro do contorno |1| = 1 e |-1| = 1 , que é o círculo de raio 2 centrado na origem ( ).
Calculando a magnitude dos pólos:
Como 1 é menor que 2, ambos os pólos e estão dentro do contorno .

Passo 4

Hora de calcular os resíduos em cada pólo. Para um pôlo simples em Resz=a f(z) = limz to a (z - a) f(z) , o resíduo é dado por:
Resz=1 f(z) = limz to 1 (z - 1) z e^zz^2-1
Vamos começar com Resz=1 f(z) = limz to 1 z e^zz + 1 = 1 cdot e^11 + 1 = e2 :
Simplificando o denominador :

Passo 5

Agora, calculamos o resíduo em Resz=-1 f(z) = limz to -1 (z + 1) z e^zz^2-1 :
Resz=-1 f(z) = limz to -1 z e^zz - 1 = (-1) cdot e^-1-1 - 1 = -e^-1-2 = e^-12
Novamente, simplificando:

Passo 6

Somamos os resíduos encontrados:
Resz=1 f(z) + Resz=-1 f(z) = e2 + e^-12 = e + e^-12

Passo 7

Aplicando o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é ointC f(z) , dz = 2pi i ( e + e^-12 ) = pi i (e + e^-1) vezes a soma dos resíduos dentro do contorno:

Resposta

ointC z e^zz^2-1 , dz = pi i ( e + 1e )

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