Determine a série de Maclaurin e o raio de convergência associado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função
. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor (especificamente Maclaurin) e entender como aplicá-las a funções envolvendo cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função
em torno de
. A fórmula geral é:
No nosso caso, vamos aplicar isso à função
e depois multiplicar por
.
Passo 3
Sabemos que a série de Maclaurin para
é:
Aqui,
. Vamos substituir isso na série:
Passo 4
Agora, precisamos multiplicar essa série por
para obter a série de Maclaurin de
:
Passo 5
Portanto, a série de Maclaurin para
é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Observamos que a série de
converge para todo
real, ou seja, seu raio de convergência é infinito. Como substituímos
, a transformação não altera o raio de convergência, mantendo-o infinito.
Resposta
A série de Maclaurin de
é
e o raio de convergência associado é infinito.
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.
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