Determine a série de Maclaurin e o raio de convergência associado.
f(x) = x cos(1/2 x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor (especificamente Maclaurin) e entender como aplicá-las a funções envolvendo cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função em torno de . A fórmula geral é:
No nosso caso, vamos aplicar isso à função e depois multiplicar por .

Passo 3

Sabemos que a série de Maclaurin para é:
Aqui, . Vamos substituir isso na série:

Passo 4

Agora, precisamos multiplicar essa série por para obter a série de Maclaurin de :

Passo 5

Portanto, a série de Maclaurin para é:

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Observamos que a série de converge para todo real, ou seja, seu raio de convergência é infinito. Como substituímos , a transformação não altera o raio de convergência, mantendo-o infinito.

Resposta

A série de Maclaurin de é
e o raio de convergência associado é infinito.

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