Encontre a transformada de Laplace das funções que seguem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta bem útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e propriedades das Transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em duas partes para facilitar a resolução:
Assim, vamos calcular a Transformada de Laplace de cada parte individualmente e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte:
.
Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso em
:
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo. Lembrando que:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
.
Primeiro, usamos outra identidade trigonométrica:
Aplicando em
:
Portanto:
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace. Usamos a propriedade de deslocamento para
:
Onde
é a Transformada de Laplace de
.
Sabemos que:
Aplicando isso:
Então, a Transformada de Laplace de
fica:
Passo 5
Agora, vamos somar as duas partes que transformamos:
Transformada de
:
Transformada de
:
Somando tudo, a Transformada de Laplace de
é:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é:
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