Encontre a transformada de Laplace das funções que seguem: f(t) = cos^2(3t) + e^t sen^2(4t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta bem útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e propriedades das Transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a resolução:
Assim, vamos calcular a Transformada de Laplace de cada parte individualmente e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: .
Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso em :
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo. Lembrando que:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: .
Primeiro, usamos outra identidade trigonométrica:
Aplicando em :
Portanto:
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace. Usamos a propriedade de deslocamento para :
Onde é a Transformada de Laplace de .
Sabemos que:
Aplicando isso:
Então, a Transformada de Laplace de fica:

Passo 5

Agora, vamos somar as duas partes que transformamos:
Transformada de :
Transformada de :
Somando tudo, a Transformada de Laplace de é:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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