Encontre a transformada de Laplace Inversa
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a Transformada de Laplace Inversa de
. Isso está relacionado à matéria de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades e fórmulas básicas da Transformada de Laplace e saber como aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace Inversa nos permite voltar do domínio da frequência (s) para o domínio do tempo (t). A fórmula que temos é
. Nosso objetivo é encontrar uma função de tempo
que, quando transformada, nos dá essa expressão.
Passo 3
Sabemos que a Transformada de Laplace de
é
. Além disso, há uma propriedade para a Transformada de Laplace de
, que é
. No nosso caso, temos
, que se parece com a Transformada de
, mas sem o numerador
.
Passo 4
Para manipular isso, vamos usar a propriedade de derivada da Transformada de Laplace. Sabemos que:
Vamos considerar que
, cuja Transformada de Laplace é
. Aplicando a propriedade:
Passo 5
Observamos que nossa expressão original é
, que é semelhante à Transformada de
, mas sem o
no numerador. Para ajustar isso, podemos escrever:
Isso significa que:
Passo 6
Mas, para completar a resposta, precisamos considerar a parte que vem da derivada da Transformada de
. Na verdade, a Transformada de
também nos dá a expressão desejada. Portanto, combinando os resultados, temos:
Resposta
A Transformada de Laplace Inversa é
.
Exercícios relacionados
Encontre a transformada de Laplace das funções que seguem:
Encontre a transformada de Laplace Inversa
Determine a série de Maclaurin e o raio de convergência associado.
Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
.