Encontre a transformada de Laplace Inversa L^{-1}(1/((s^{2}+1)^{2}))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a Transformada de Laplace Inversa de . Isso está relacionado à matéria de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades e fórmulas básicas da Transformada de Laplace e saber como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace Inversa nos permite voltar do domínio da frequência (s) para o domínio do tempo (t). A fórmula que temos é . Nosso objetivo é encontrar uma função de tempo f(t) que, quando transformada, nos dá essa expressão.

Passo 3

Sabemos que a Transformada de Laplace de é . Além disso, há uma propriedade para a Transformada de Laplace de , que é . No nosso caso, temos , que se parece com a Transformada de , mas sem o numerador .

Passo 4

Para manipular isso, vamos usar a propriedade de derivada da Transformada de Laplace. Sabemos que:
Vamos considerar que , cuja Transformada de Laplace é . Aplicando a propriedade:

Passo 5

Observamos que nossa expressão original é , que é semelhante à Transformada de , mas sem o no numerador. Para ajustar isso, podemos escrever:
Isso significa que:

Passo 6

Mas, para completar a resposta, precisamos considerar a parte que vem da derivada da Transformada de . Na verdade, a Transformada de também nos dá a expressão desejada. Portanto, combinando os resultados, temos:

Resposta

A Transformada de Laplace Inversa é .

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