Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
Vamos precisar conhecer um pouco sobre Transformadas de Laplace e como aplicá-las para resolver equações diferenciais com condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace da derivada de é:
e
Passo 3
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo:
Aqui usamos que , então .
Passo 4
Simplificando a equação:
Fatorando :
Passo 5
Agora, isolamos :
Precisamos simplificar essa fração para facilitar a Transformada Inversa.
Passo 6
Vamos decompor em frações parciais. Primeiro, fatoramos :
Então, reescrevemos :
Passo 7
Usamos a técnica de frações parciais para decompor :
Multiplicamos ambos os lados por :
Passo 8
Expandindo e agrupando termos:
Igualando os coeficientes:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
De , temos .
Substituindo na segunda equação: => .
Da terceira equação: .
Agora, somamos as equações 2 e 3:
Então, .
E de :
Passo 10
Agora, substituímos os valores de , e :
Passo 11
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente.