Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: y'' + 2y' + 2y = e^t, y(0) = 0, y'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
Vamos precisar conhecer um pouco sobre Transformadas de Laplace e como aplicá-las para resolver equações diferenciais com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace da derivada de é:
e

Passo 3

Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo:
Aqui usamos que , então .

Passo 4

Simplificando a equação:
Fatorando :

Passo 5

Agora, isolamos :
Precisamos simplificar essa fração para facilitar a Transformada Inversa.

Passo 6

Vamos decompor em frações parciais. Primeiro, fatoramos :
Então, reescrevemos :

Passo 7

Usamos a técnica de frações parciais para decompor :
Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 8

Expandindo e agrupando termos:
Igualando os coeficientes:

Passo 9

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação: => .
  3. Da terceira equação: .
Agora, somamos as equações 2 e 3:
Então, .
E de :

Passo 10

Agora, substituímos os valores de , e :

Passo 11

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente.
Sabemos que:

Passo 12

Aplicando isso aos termos:
  1. Para :
  1. Para , fazemos ajustes:

Passo 13

Juntando tudo, a solução geral é:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine a série de Maclaurin e o raio de convergência associado.
f(x) = x cos(1/2 x^2)
Encontre a transformada de Laplace Inversa L^{-1}(1/((s^{2}+1)^{2}))
Determine as derivadas: y = e^(tg x)
Determine as derivadas: y = e^(sen(t))