Determine a série de potências, e seu raio de convergência, para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar a série de potências de e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de série de potências e como determinar seu raio de convergência usando métodos de cálculo de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita que tem a forma:
onde são os coeficientes da série e é o centro da série. No nosso caso, vamos considerar o centro , o que simplifica para:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a série de potências para . Sabemos que a função exponencial pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de 0 (também chamada de série de Maclaurin):
Aqui, os coeficientes são .
Passo 4
Com a série de potências identificada, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. O raio de convergência nos diz para quais valores de a série converge, ou seja, para quais valores a soma infinita faz sentido.
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência, usamos o teste da razão, que é um método comum para determinar a convergência de séries. A fórmula do teste da razão é:
Aplicando isso aos nossos coeficientes :
Então, o raio de convergência é:
Resposta
A série de potências para é:
E o raio de convergência dessa série é infinito, ou seja, .