Verifique se (Z, +, *) satisfaz os axiomas de anel (com elemento neutro da adição -1 e elemento neutro da multiplicação 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a estrutura (Z, +, *) é um anel. Um anel é uma espécie de conjunto com duas operações que seguem certas regras, chamadas axiomas. Aqui, o conjunto é (os números inteiros), oplus é a adição e é a multiplicação. Além disso, foi dado que o elemento neutro da adição é -1 e o elemento neutro da multiplicação é 0. Vamos precisar conferir cada um dos axiomas de anel para ver se tudo se encaixa.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação. Para ser um anel, essas operações precisam satisfazer certos axiomas:
  1. A adição deve formar um grupo abeliano.
  2. A multiplicação deve ser associativa.
  3. A multiplicação deve distribuir sobre a adição.
Vamos começar verificando cada um desses pontos.

Passo 3

1. A adição forma um grupo abeliano:
  • Fechamento: Para todo , deve estar em .
    No nosso caso, oplus é a adição usual. Como a soma de dois inteiros é outro inteiro, o fechamento está ok.
  • Associatividade: para todos .
    A adição usual é associativa, então isso também está satisfeito.
  • Elemento neutro: Deve existir um elemento e tal que para todo .
    Foi dado que o elemento neutro da adição é -1. Vamos testar: , que não retorna a. Para ter um elemento neutro, precisaríamos que , então e deveria ser 0. Como não é, a estrutura não tem um elemento neutro válido para a adição.

Passo 4

2. A multiplicação é associativa:
Mesmo que tenhamos encontrado um problema na adição, vamos verificar a multiplicação.
  • Associatividade: para todos .
    A multiplicação usual dos inteiros é associativa, então isso está ok.
3. Distribuição da multiplicação sobre a adição:
  • Para todos ,
    A multiplicação usual distribui sobre a adição, então essas propriedades tamb��m estão satisfeitas.

Resposta

Como a estrutura (Z, +, *) não possui um elemento neutro válido para a adição (o neutro deveria ser 0, não -1), ela não satisfaz os axiomas de um anel.

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