Verifique se
satisfaz os axiomas de anel (com elemento neutro da adição -1 e elemento neutro da multiplicação 0).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a estrutura
é um anel. Um anel é uma espécie de conjunto com duas operações que seguem certas regras, chamadas axiomas. Aqui, o conjunto é
(os números inteiros),
é a adição e
é a multiplicação. Além disso, foi dado que o elemento neutro da adição é
e o elemento neutro da multiplicação é
. Vamos precisar conferir cada um dos axiomas de anel para ver se tudo se encaixa.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação. Para ser um anel, essas operações precisam satisfazer certos axiomas:
- A adição deve formar um grupo abeliano.
- A multiplicação deve ser associativa.
- A multiplicação deve distribuir sobre a adição.
Vamos começar verificando cada um desses pontos.
Passo 3
1. A adição forma um grupo abeliano:
-
Fechamento: Para todo
, deve estar em . No nosso caso,é a adição usual. Como a soma de dois inteiros é outro inteiro, o fechamento está ok. -
Associatividade:
para todos . A adição usual é associativa, então isso também está satisfeito. -
Elemento neutro: Deve existir um elemento
tal que para todo . Foi dado que o elemento neutro da adição é. Vamos testar: , que não retorna . Para ter um elemento neutro, precisaríamos que , então deveria ser . Como não é, a estrutura não tem um elemento neutro válido para a adição.
Passo 4
2. A multiplicação é associativa:
Mesmo que tenhamos encontrado um problema na adição, vamos verificar a multiplicação.
-
Associatividade:
para todos . A multiplicação usual dos inteiros é associativa, então isso está ok.
3. Distribuição da multiplicação sobre a adição:
-
Para todos
, A multiplicação usual distribui sobre a adição, então essas propriedades tamb��m estão satisfeitas. -
Resposta
Como a estrutura
não possui um elemento neutro válido para a adição (o neutro deveria ser
, não
), ela não satisfaz os axiomas de um anel.